Задачи › Давление жидкости

Сосуд Мюнхгаузена

  1. Сосуд Мюнхгаузена

    Белорусская 2004/05, заключительный этап, 9 кл. · №24605
    3/10PDF: условиес решением

    Задание 1. «Сосуд Мюнхгаузена»}

    Согласно рассказам небезызвестного барона, он в трудную минуту смог поднять себя вместе с лошадью из трясины, дабы спастись от неминуемой гибели. «Правдивость» описанного физического явления мы обсудим попозже, а пока рассмотрим т.н. «сосуд Мюнхгаузена», который вполне может поднять «сам себя» при определенных условиях...

    Рисунок

    Сосуд без дна, изображенный на рис. 1, состоит из двух вертикальных соосных цилиндров радиусами \(R = 10\,\text{см}\) и \(r = 5{,}0\,\text{см}\), нижний из которых имеет высоту \(h = 8{,}0\,\text{см}\). Если сосуд поставить на гладко пригнанную горизонтальную поверхность, и аккуратно налить в него немного воды, то жидкость не будет выливаться из-под него вследствие отсутствия «щелей». Однако при дальнейшем доливании воды оказалось, что после достижении уровня \(H = 15\,\text{см}\) жидкость начинает приподнимать сосуд и вытекать из-под него. Вычислите по этим данным массу \(m\) сосуда Мюнхгаузена. Плотность воды — \(\rho = 1{,}0 \cdot 10^{3}\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}\).

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Давление на уровне перехода от узкого цилиндра к широкому действует на кольцевые горизонтальные части сосуда снизу вверх. Сосуд начнёт подниматься, когда эта сила сравняется с его весом.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(m = \pi\rho(H-h)(R^2-r^2) \approx 1{,}6\text{ кг}\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Задание 1. «Сосуд Мюнхгаузена»}

    Давление \(p_{\text{АВ}} = \rho g(H - h)\) столба жидкости на уровне \(\text{АВ}\) (рис. 20) в сосуде согласно закону Паскаля передается по всем направлениям без изменений. Следовательно, сила давления \(\vec{F}_{\text{Д}}\) жидкости на горизонтальные части \(A\) и \(B\) сосуда Мюнхгаузена площадью \(S = \pi(R^2 - r^2)\) направлена вверх и равна

    \[F_{\text{Д}} = \pi \rho g(H - h)(R^2 - r^2).\tag{1}\]

    Рисунок

    Поскольку при такой высоте \(H\) жидкость приподнимает сосуд, то справедливо равенство

    \[mg = \pi \rho g(H - h)(R^2 - r^2).\tag{2}\]

    Из (2) получаем

    \[m = \pi \rho (H - h)(R^2 - r^2).\tag{3}\]

    Расчет дает

    \[m = 1{,}6 \text{ кг}.\tag{4}\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх