Находчивый Мюнхгаузен

Импульс человека делится между ним и лодкой при посадке. Дальше сила сопротивления пропорциональна скорости, поэтому изменение скорости пропорционально пройденному пути: просуммируйте \(\Delta v=-\alpha\Delta x/(M+m)\).

\(v_{\min}=\alpha(L-l)/m \approx 4{,}9\) м/с (масса лодки не входит).

Задание 4. «Находчивый Мюнхгаузен»}

Человек, прыгнув в лодку, сообщит ей некоторую начальную скорость \(\upsilon_0\), которую можно найти из закона сохранения импульса

\[m \upsilon_{min} = (M + m) \upsilon_0 \Rightarrow \upsilon_0 = \frac{m \upsilon_{min}}{(M + m)}.\tag{1}\]

Далее лодка с человеком будет скользить по инерции, постепенно замедляя свое движение под действием силы сопротивления воды. Пусть в некоторый момент времени скорость лодки \(\upsilon(t)\). Согласно II закону Ньютона для движения лодки (в проекции на горизонтальное направление) с учетом определений ускорения и скорости в этом случае можем записать

\[(M + m) a = (M + m) \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = -\alpha \upsilon(t) = -\alpha \frac{\Delta x}{\Delta t}.\tag{2}\]

Умножая обе части равенства (2) на \(\Delta t\), получим связь между приращением скорости \(\Delta \upsilon\) за некоторый малый промежуток времени \(\Delta t\) и приращением \(\Delta x\) ее координаты

\[\Delta \upsilon = - \frac { \alpha } { M + m } \, \Delta \, x \ .\tag{3}\]

Суммируя (3) по всем малым промежуткам, получим

\[\sum _ { i } \Delta \upsilon _ { i } = ( 0 - \upsilon _ { 0 } ) = - \frac { \alpha } { M + m } \sum _ { j } \Delta x _ { j } = - \frac { \alpha } { M + m } ( x - x _ { 0 } ) \Rightarrow x - x _ { 0 } = s = \frac { ( M + m ) \, \upsilon _ { 0 } } { \alpha } .\tag{4}\]

Лодка коснется противоположного берега в результате скольжения, только в том случае, если пройдет путь

\[s = x - x _ { 0 } = L - l \qquad \Rightarrow \qquad \upsilon _ { 0 } = \frac { \alpha } { M + m } \left( L - l \right) .\tag{5}\]

С учетом выражения (1) из (5) окончательно получаем

\[\upsilon _ { m i n } = \frac { \alpha ( L - l ) } { m } = 4 { , } 9 \frac { \mathrm { { \scriptscriptstyle M } } } { \text{ с } } \, .\tag{6}\]

Интересно, что в окончательное выражение (6) не вошла масса лодки \(M\), хотя на первый взгляд кажется, что она является существенным параметром в данной задаче. Данный факт можно объяснить так: тяжелая лодка легче скользит по воде, но ее тяжелее разогнать, тогда как легкую лодку можно лучше разогнать, но она быстро теряет свою скорость в воде.

Следовательно, с практической точки зрения для успешного путешествия без весел важно «запасти» как можно больший импульс еще при разгоне по берегу.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.