Мультиметр Мюнхгаузена

Для тока амперметр включают последовательно, для расширения предела тока ставят шунт параллельно, для измерения напряжения от источника тока — параллельно резистору. Границы сопротивлений находите из крайних показаний \(\delta I\) и \(I_{\max}\).

5.1) \(18\text{ Ом}\le R\le 0{,}36\text{ кОм}\), погрешность \(1{,}1\%\), шунт \(R_{\text{Ш}}=0{,}25\) Ом параллельно; 5.2) \(U=\dfrac{RR_A}{R+R_A}I_0\), \(0{,}11\text{ Ом}\le R\le 0{,}25\text{ Ом}\); 5.3) \(R=U_0/I_A-R_A\), \(1{,}3\text{ Ом}\le R\le 44\text{ Ом}\).

Задание 5. «Мультиметр Мюнхгаузена»}

5.1 «Амперметр – амперметр» Для измерения силы тока амперметр следует подключать в цепь последовательно. Минимальное \(R_{min}\) и максимальное \(R_{max}\) сопротивления цепи (т.е. суммарное сопротивление резистора и амперметра) должны соответствовать максимальному \(I_{max}\) и минимальному \(\delta I\) значениям силы тока

\[R_{min} = \frac{U}{I_{max}} = 18\,\text{Ом}\,,\quad R_{max} = \frac{U}{\delta I} = 0{,}36\,\text{кОм}\,.\tag{1}\]

Соответственно пределы изменения сопротивления цепи в этом случае \(R_{min} \le R \le R_{max}\).

До включения амперметра сила тока на участке цепи, подлежащая измерению, была \(I_x = \frac{U}{R}\), где \(U\) — напряжение источника, \(R\) — сопротивление участка цепи. После включения в цепь амперметра сопротивлением \(R_A\) сила тока несколько уменьшится до значения

\[I = \frac{U}{R + R_A}\,.\tag{2}\]

Изменение силы тока \(\Delta I\) по отношению к начальному значению тока в цепи и есть абсолютная погрешность измерения силы тока

\[\Delta I = I_x - I = \frac{U}{R} - \frac{U}{R + R_A} = \frac{R_A}{R(R + R_A)}U\,.\tag{3}\]

Для расчета по формуле (5) из возможного диапазона сопротивлений выберем \(R_{min}\), поскольку в этом случае погрешность максимальна

\[\Delta I = 0{,}011 = 1{,}1\%\,.\tag{4}\]

Для «модификации» амперметра с целью измерения токов, превышающих \(I_{max}\), следует пустить часть тока «в обход» амперметра, т.е. присоединить параллельно ему резистор (шунт) с известным электрическим сопротивлением \(R_{\text{Ш}}\).

Тогда суммарную тока в цепи \(I\) найдем как

\[I = I_0 + I_{\text{Ш}},\tag{5}\]

где \(I_{\text{Ш}}\) — сила тока через шунт.

С силу параллельного включения падение напряжения на амперметре \(U_A = I_0 R_A\) и шунте \(U_{\text{Ш}} = I_{\text{Ш}} R_{\text{Ш}}\) должны быть одинаковы. Из этого условия с учетом (1) получаем

\[I = n I_0 = I_0 + I_{\text{Ш}} = I_0(1 + \frac{R_A}{R_{\text{Ш}}}) \quad \Rightarrow \quad R_{\text{Ш}} = \frac{R_A}{n - 1}.\tag{6}\]

В рассматриваемом случае

\[R_{\text{Ш}} = 0{,}25 \, \text{Ом}.\tag{7}\]

5.2 «Амперметр – вольтметр» В случае использования источника тока, дающего фиксированное значение силы тока \(I_0\) независимо от сопротивления цепи, традиционное (последовательное) включение амперметра не даст желаемого результата — он будет показывать всегда одно и то же значение силы тока — \(I_0\). Это можно понять, если учесть, что внутренне сопротивление источника тока равно бесконечности \(r = \infty\). Следовательно для измерения напряжения на резисторе ничего не остается, как очень аккуратно подключить амперметр параллельно резистору, хотя это и строжайше запрещено.

При таком подключении измеряемое напряжение \(U\) на резисторе совпадает с напряжением на амперметре

\[U = I_A R_A.\tag{8}\]

С учетом правила деления тока \(I_0\) на резисторах

\[I_A = \frac{R}{R + R_A} I_0; \quad I_R = \frac{R_A}{R + R_A} I_0\tag{9}\]

выражение (8) можем переписать в виде

\[U = I_A R_A = \frac{R R_A}{R + R_A} I_0.\tag{10}\]

Подставляя в (9) для \(I_A\) последовательно значения \(I_{max}\) и \(\delta I\), найдем диапазон изменения сопротивления резистора \(R_{min} \le R \le R_{max}\) для случая источника тока

\[R = \frac{I_A R_A}{I_0 - I_A}.\tag{11}\]

Соответственно

\[R_{min} = R(I_A = \delta I) = 0{,}11 \, \text{Ом}\tag{12}\]

\[R_{max} = R(I_A = I_{max}) = 0{,}25 \, \text{Ом}.\tag{13}\]

5.3 «Амперметр – омметр» Для измерения сопротивления \(R\) неизвестного резистора соединим последовательно батарейку, резистор и амперметр. Показания амперметра в этом случае (в соответствии с законом Ома)

\[I = I_A = \frac{U_0}{R + R_A}.\tag{14}\]

Из (14) выразим неизвестное сопротивление

\[R = \frac { U _ { 0 } } { I _ { A } } - R _ { A } \, .\tag{15}\]

Для вычисления диапазона \(R _ { m i n } \leq R \leq R _ { m a x }\) измеряемых сопротивлений в данном случае традиционно используем нижний \(\delta I\) и верхний \(I _ { m a x }\) пределы шкалы амперметра.

\[R _ { m i n } = R ( I _ { A } = I _ { m a x } ) = 1 { , } 3 \text{ Ом}\tag{16}\]

\[R _ { m a x } = R ( I _ { A } = \delta I ) = 4 4 \text{ Ом} \, .\tag{17}\]

Следует заметить, что в данном случае категорически запрещено подключение амперметра параллельно резистору, т.к. ток через него составит \(I = \frac { U } { R _ { A } } = 4 5 \text{ А}\), что выведет прибор из строя.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.