Дробь Мюнхгаузена

Капля должна отдать воздуху теплоту кристаллизации за время падения; приравняйте её к потерям \(\alpha(T-T_0)St\) и найдите, как нужное время зависит от радиуса. С сопротивлением воздуха разгон идёт до установившейся скорости, дальше падение равномерное.

2.1) \(H = (r_1/r_0)^2 h_1 = 2{,}0\cdot10^2\text{ м}\); 2.2) \(H \approx 1{,}6\cdot10^2\text{ м}\) (установившиеся скорости \(19{,}9\) и \(28{,}3\) м/с).

Задание 2. «Дробь Мюнхгаузена»}

2.1 Поскольку силой сопротивления воздуха можно пренебречь, то дробинка будет свободно падать с башни высотой \(h\) с ускорением свободного падения \(g\) без начальной скорости. Для этого ей потребуется время

\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\tag{1}\]

Поскольку температура свинца во время кристаллизации остается постоянной, то при радиусе дробинки \(r\) за время полета (см. подсказку) она отдаст в окружающее пространство количество теплоты

\[Q = \alpha(T - T_0)St = \alpha(T - T_0)4\pi r^2 t,\tag{2}\]

где \(T\) — температура плавления свинца, \(T_0\) — температура окружающей среды. С другой стороны это количество теплоты может быть найдено из условия полной кристаллизации свинца за время полета

\[Q = m\lambda = \rho V \lambda = \rho \frac{4}{3}\pi r^3 \lambda,\tag{3}\]

где \(\rho\) и \(\lambda\) — соответственно плотность и удельная теплота кристаллизации (плавления) свинца. Приравнивая выражения (2) и (3), с учетом (1) найдем

\[h = \frac{g}{18} \left( \frac{\rho \lambda}{\alpha(T - T_0)} \right)^2 r^2.\tag{4}\]

Повторяя подобные рассуждения для «крупной» дроби, получим

\[H = \frac{g}{18} \left( \frac{\rho \lambda}{\alpha(T - T_0)} \right)^2 R^2.\tag{5}\]

Разделив (5) на (4), окончательно найдем

\[H = \frac { R ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \, h = \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 2 } h = 2 0 0 \, \mathrm { { m } } = 2 { , } 0 \cdot 1 0 ^ { 2 } \, \mathrm { { m } } \, .\tag{6}\]

2.2 При описании падения «дробинки» с учетом силы сопротивления воздуха, заметим, что ее скорость \(\upsilon(t)\) будет расти с переменным ускорением до некоторого

установившегося значения \(u\), а далее падение будет равномерным.

Для оценки высоты башни \(H\) в этом случае примем, что характер зависимости скорости дробинки от времени \(\upsilon(t)\) имеет вид, представленный на рис. 21, т.е. состоит из участка равноускоренного движения длиной \(S_1\) и участка равномерного движения длиной \(S_2\). Соответственно

\[S_1 + S_2 = H\tag{7}\]

где \(S_1 = \frac{u^2}{2g}\), \(S_2 = u(t - \frac{u}{g})\), \(t\) — искомое время падения с башни высотой \(H\) в рамках данной модели. С учетом этого получаем

\[t = \frac{H}{u} + \frac{u}{2g}\tag{8}\]

По условию задачи за время полета \(t\) капля должна полностью кристаллизоваться. Из уравнения теплового баланса в этом случае имеем

\[\alpha(T - T_0) 4\pi r^2 t = \alpha(T - T_0) 4\pi r^2 \left( \frac{H}{u} + \frac{u}{2g} \right) = m\lambda = \rho V \lambda = \rho \frac{4}{3} \pi r^3 \lambda\tag{9}\]

Из (9) найдем связь между высотой башни \(H\) и описанными параметрами

\[H = \frac{\rho \lambda r u}{3\alpha(T - T_0)} - \frac{u^2}{2g}\tag{10}\]

Как следует из (10), одним из параметров, определяющих высоту башни является скорость \(u\) установившегося падения капли. Для ее нахождения воспользуемся II законом Ньютона, согласно которому в этом состоянии сила тяжести должна быть равна по модулю силе сопротивления воздуха

\[mg = \frac{C_x}{2} \rho_0 u^2 \pi r^2\tag{11}\]

Из (11) с учетом того, что масса капли

\[m = \rho V = \rho \frac{4}{3} \pi r^3\]

найдем

\[u = \sqrt{ \frac{8 \rho g r}{3 C_x \rho_0} }\tag{12}\]

Используя выражения (10) - (12), для высоты башни \(H_2\), необходимой для производства «крупной» дроби радиусом \(r_2\), получим

\[H_2 = \frac{r_2 u_2}{r_1 u_1} \left( H_1 + \frac{u_1^2}{2g} \right) - \frac{u_2^2}{2g}\tag{13}\]

Вычисляя с помощью (12) скорости \(u_1 = 19{,}9 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) и \(u_2 = 28{,}3 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) и подставляя полученные значения в (14), окончательно найдем

\[H_2 = 1{,}6 \cdot 10^2 \text{ м}.\tag{14}\]

Из сравнения (14) и (6) видим, что численное значение для высоты башни стало меньше в случае «равноускоренно-равномерного» движения. Это нисколько не удивительно, т.к. сила сопротивления воздуха создает «парашютный эффект», увеличивая время падения капли с данной высоты (средняя скорость падения уменьшается). Таким образом, капля успевает кристаллизоваться и при падении с меньшей высоты, чем в случае только равноускоренного движения.

В заключение заметим, что выражение (10) не имеет смысла при больших значениях \(u\), поскольку при этом высота башни \(H\) получается отрицательной. Это имеет очевидный физический смысл — в нашей модели высота башни изначально предполагалась достаточной для того, чтобы капля «успела» разогнаться до постоянной скорости \(u\). В противном случае будет отсутствовать участок равномерного движения капли. Сформулируем критерий достаточности количественно

\[H \ge H^* = S_1.\tag{15}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.