Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Для поддержания температуры воды в бассейне \(t_0 = 25\,{}^\circ\)C используется встроенный в стенки нагреватель, имеющий мощность \(N_1 = 50\) кВт и температуру \(t_1 = 50\,{}^\circ\)C. Тепловой поток от нагревателя к бассейну прямо пропорционален разности температур между ними. Для увеличения температуры воды в бассейне до \(t = 28\,{}^\circ\)C пришлось увеличить мощность нагревателя до \(N_2 = 60\) кВт. Какой при этом стала температура нагревателя? Тепловым потоком, рассеивающимся от нагревателя в окружающую среду, можно пренебречь.

Школьник Владислав исследует охлаждение воды в стакане на морозе. Владислав заметил, что охлаждение от температуры 91 °C до 89 °C происходит за 3 минуты, а от температуры 31 °C до 29 °C — за 6 минут. Чему равна температура окружающей среды? Считайте, что мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур стакана и окружающей среды.

Несколько одинаковых теплопроводящих стержней соединили небольшими шариками, как показано на рисунке. Температуру шарика 1 поддерживают равной \(100\,°C\), температуру шарика 2 поддерживают равной \(200\,°C\). Определите температуру шарика 3. Ответ выразите в градусах по шкале Цельсия, округлив до целого числа. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

В сосуде Дьюара хранится жидкий азот массой \(1{,}26\text{ кг}\) при температуре \(-195^\circ\text{C}\). Он испаряется за 48 ч. За сколько часов в том же сосуде растает лед массой 188 г при температуре \(0^\circ\text{C}\)? Температура окружающего воздуха \(30^\circ\text{C}\). Удельную теплоту плавления льда считайте равной \(336\text{ кДж/кг}\), удельную теплоту парообразования азота — равной \(188\text{ кДж/кг}\). Скорость подвода теплоты внутрь сосуда пропорциональна разности температур снаружи и изнутри.

Четыре термостата, в которых поддерживаются температуры \(T_1 = +10\text{ ºC}\), \(T_2 = +20\text{ ºC}\), \(T_3 = 0\text{ ºC}\) и \(T_4 = -10\text{ ºC}\), соединены между собой при помощи пяти одинаковых теплопроводящих стержней (см. рис.). Найдите установившиеся температуры точек \(A\) и \(B\) соединения стержней. Мощность теплопередачи через каждый стержень пропорциональна разности температур на его концах. Потерями теплоты можно пренебречь.

Процессор персонального компьютера может весьма сильно нагреваться. Для нормальной работы процессора необходима система охлаждения — кулер, состоящий из радиатора и вентилятора (см. рисунок). Обозначим температуру процессора \(T_C\), температуру радиатора \(T_R\), а температуру воздуха внутри корпуса компьютера вдали от процессора \(T_0\).

Количество теплоты, передаваемое за единицу времени процессором радиатору, пропорционально разности их температур (\(T_C - T_R\)). Аналогично, радиатор отдаёт в единицу времени окружающей среде количество теплоты, пропорциональное разности (\(T_R - T_0\)). Коэффициенты пропорциональности в указанных зависимостях разные, но оба они зависят только от геометрических размеров и конструкции кулера.

Температура процессора при работе в некотором режиме равна \(T_C = 54\,^\circ\text{С}\). При этом \(T_R = 42\,^\circ\text{С}\) и \(T_0 = 26\,^\circ\text{С}\). Этот процессор заменили на другой — с тепловыделением при работе в том же режиме в 1,5 раза больше, оставив прежний кулер. Температура воздуха \(T_0\) в результате увеличилась на \(2\,^\circ\text{С}\). Определите температуру нового процессора.

Медный шарик, нагретый до \(50\,^\circ\text{C}\), после погружения в прорубь за 10 с охладился до \(25\,^\circ\text{C}\). За какое время охладится до \(25\,^\circ\text{C}\) медный цилиндр, имеющий ту же массу и ту же начальную температуру? Высота цилиндра равна его радиусу. Ответ выразите в секундах и округлите до десятых.

Горячая вода в стоящем на столе открытом стакане остывает на \(1^\circ\)C за 0,6 минуты. Если накрыть стакан листком бумаги, время остывания увеличится и станет равным 0,9 минуты. Если вместо этого поставить открытый стакан на пенопластовую подставку, то время остывания на \(1^\circ\)C станет 0,75 минуты. Если же, убрав подставку, сделать вокруг стенок открытого стакана пенопластовый цилиндрический теплоизолятор — время остывания на \(1^\circ\)C увеличится до 1 минуты. Теперь, чтобы замедлить остывание, одновременно будем использовать все средства — и подставку, и цилиндр, и даже листок бумаги. Найдите время остывания воды на \(1^\circ\)C в этом случае. Во всех экспериментах начальная температура воды в стакане одинаковая. Считайте, что пенопласт является очень хорошим теплоизолятором. Ответ выразите в минутах, округлите до целого числа.

В кастрюле находится 5 кг воды. На её нагревание от температуры \(40^\circ\)С до температуры \(41^\circ\)С требуется 10 с. Найдите время, которое понадобится для того, чтобы нагреть эту воду от температуры \(90^\circ\)С до температуры \(91^\circ\)С. Мощность плиты 2500 Вт. Считайте, что тепловые потери пропорциональны разности температур воды и окружающей среды. Температура окружающей среды равна \(20^\circ\)С. Теплоёмкостью кастрюли можно пренебречь. Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг\(\cdot^\circ\)С). Ответ выразите в секундах, округлите до целого числа.

Дом состоит из двух одинаковых комнат, симметричных относительно их разделяющей стены. В каждой из комнат находится радиатор мощностью \(P\). Температура на улице равна \(T_0 = -15\) °C. Если включить один радиатор, то после нагрева температура в комнате с работающим радиатором будет \(T_1 = 10\) °C, а в другой — \(T_2 = 5\) °C. Найдите температуру, до которой прогреются комнаты, если будут работать оба радиатора. Ответ выразите в градусах по шкале Цельсия, округлив до целого числа. Предполагайте, что мощность теплообмена на единицу площади пропорциональна разности температур. Пол и потолок хорошо теплоизолированы.

В просторном хорошо проветриваемом помещении на столе стоят три одинаковые банки. В каждой банке содержится смесь воды и льда. Масса смеси в каждой банке — одинаковая, и масса льда в каждой банке тоже одинаковая. Три одинаковых нагревательных элемента погружены в банки. Элемент, погружённый в первую банку, соединён через ключ с аккумулятором с напряжением \(U\) на выводах, элемент, погружённый во вторую банку, соединён через ключ с аккумулятором с напряжением \(2U\), а погружённый в третью — с аккумулятором с напряжением \(3U\). Внутреннее сопротивление аккумуляторов пренебрежимо мало. Ключи одновременно замыкают. Известно, что в третьей банке лёд полностью растаял через 7 минут после замыкания ключа, а во второй — через 17 минут. Через какое время \(t_1\) лёд в первой банке растаял полностью? Считайте, что во время таяния льда смесь в каждой из банок перемешивается, так что температуры смеси в разных точках одной банки оказываются равны. Мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур банки и окружающей среды. В ответе к задаче укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение времени \(t_1\), наиболее близкое к найденному вами.

Значения \(t_1\), мин, по номерам столбцов: 1) 150; 2) 120; 3) 90; 4) 60; 5) 45; 6) 30.

Школьник исследовал остывание жидкостей в термосе. Он обнаружил, что остывание одного литра бульона с \(95\,^\circ\)C до \(90\,^\circ\)C в открытом термосе происходит за \(t_1 = 100\) с, а в закрытом тонкой фольгой за \(t_2 = 180\) с. С другой стороны, он заметил, что вода того же объёма остывает с \(95\,^\circ\)C до \(90\,^\circ\)C в открытом термосе за \(t_3 = 80\) с. Считайте, что остывание жидкости происходит за счёт испарения воды и конвекции воздуха, граничащего с её поверхностью. При этом часть поверхности бульона покрыта жиром, испарения с этой части поверхности не происходит. Если бульон накрыть фольгой, испарение практически прекращается. В рассматриваемом температурном диапазоне теплопотери можно считать постоянными, фольга и жировой слой на поверхности не оказывают существенного влияния на теплопотери, осуществляемые посредством конвекции.

Теплоёмкость и плотность бульона и воды совпадают. Удельная теплоёмкость и удельная теплота парообразования воды равны соответственно \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C) и \(L = 2{,}3\) МДж/кг.

1. Рассчитайте, какая часть площади поверхности бульона покрыта жиром?

2. Рассчитайте, какая масса воды испарилась с поверхности бульона за время его остывания с \(95\,^\circ\)C до \(90\,^\circ\)C.

Школьник Владислав исследует охлаждение воды в стакане на морозе. Владислав заметил, что охлаждение от температуры \(91\,^\circ\)C до \(89\,^\circ\)C происходит за 3 минуты, а от температуры \(31\,^\circ\)C до \(29\,^\circ\)C "— за 6 минут. За какое время будет происходить охлаждение от \(11\,^\circ\)C до \(9\,^\circ\)C? А от \(+1\,^\circ\)C до \(-1\,^\circ\)C? Считайте, что мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур стакана и окружающей среды. Удельные теплоёмкости воды и льда составляют \(4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot^\circ\)C) и \(2{,}1\) кДж/(кг\(\cdot^\circ\)C) соответственно, удельная теплота плавления льда 336 кДж/кг. Теплоёмкостью стакана пренебречь.

Папа решил взять с собой Васю на зимнюю рыбалку. В инвентаре папы оказалось два лишних свинцовых грузила одинаковой массой. Первое представляло собой кубик, а второе цилиндр, высота которого равна длине ребра кубика. К середине одной из граней кубика и к центру одного из оснований цилиндра были прикреплены маленькие крючки. В какой-то момент Васе стало скучно, и он начал экспериментировать с этими грузилами. Вася привязал к крючкам нитки, подвесил грузила за эти нитки, и заклеил верхние и нижние поверхности грузил изоляционной лентой, которая плохо проводит теплоту. После этого Вася нагрел на походной газовой горелке воду в миске, опустил в нее свинцовый кубик, дождался его полного прогревания до \(80\) °С, и после этого погрузил кубик в прорубь. Оказалось, что кубик охладился до температуры \(36{,}6\) °С за 30 секунд. Затем Вася нагрел тем же способом до той же температуры цилиндрическое грузило, и тоже погрузил его в прорубь. За какое время оно охладится до температуры \(36{,}6\) °С?

В холодильной камере при температуре \(0\,^\circ\)C находится сосуд с водой и льдом. Если переместить этот сосуд в помещение, то на стенках сосуда к моменту, когда весь лёд растает, образуются капельки сконденсированной воды (сосуд запотевает). Масса воды, сконденсированной на стенках сосуда, зависит от температуры воздуха в комнате. Например, если температура воздуха в комнате равна \(22\,^\circ\)C, то сконденсируется 23 г воды, а при температуре \(30\,^\circ\)C сконденсируется 18 г воды. Определите массу льда в сосуде. Удельная теплота плавления льда равна 330 кДж/кг, а удельная теплота парообразования воды \(2{,}3\) МДж/кг. Считайте, что конвекция отсутствует, мощность теплообмена пропорциональна разности температур сосуда с его содержимым и воздуха, а скорость образования конденсата в обоих случаях одинаковая.

При температурной инверсии график зависимости температуры воздуха \(t\) вблизи поверхности Земли от высоты \(h\) может иметь вид, показанный на рисунке линией чёрного цвета увеличенной толщины.

Пусть капля, имеющая форму шара, движется вниз с постоянной скоростью под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха. На высоте \(h_0 = 2\text{ км}\) температура капли оказывается равна \(t_c = 0\,^\circ\text{C}\). В процессе дальнейшего падения часть капли (или вся капля) превращается в лёд вследствие теплообмена с холодным атмосферным воздухом.

Мощность теплообмена \(P\) и сила сопротивления воздуха \(F_d\) даются формулами \[P = \alpha (t_c - t) S, \qquad F_d = \beta S v^2,\] где \(S\) "— площадь поверхности капли, \(\alpha\) и \(\beta\) "— некоторые константы, \(t\) и \(t_c\) "— температуры окружающего воздуха и капли (на одной высоте), \(v\) "— скорость капли.

Рассмотрим две капли. Радиус первой капли в 2,25 раз меньше радиуса второй. В процессе падения с высоты 2 км первой капли четверть её массы превращается в лёд. Какая часть массы второй капли превратится в лёд?

Считайте теплопроводность льда высокой, так что температура всех точек капли остаётся одинаковой, пока капля полностью не превратилась в лёд. Изменением радиуса капли при её частичном превращении в лёд можно пренебречь.

В теплоизолированном цилиндре, расположенном горизонтально, лёгкий, хорошо проводящий тепло поршень делит объём на две равные части, каждая объёмом \(V_0\). В обеих частях находится один и тот же одноатомный идеальный газ при начальном давлении \(p_0\) и температурах \(2T_0\) и \(T_0\) (см. рисунок). Теплоёмкостью поршня можно пренебречь.

Мощность теплообмена между частями цилиндра пропорциональна разности температур: \(P = \alpha(T_1 - T_2)\), где \(\alpha\) – коэффициент теплопередачи, \(T_1\) – температура в левой части, \(T_2\) – в правой. В процессе установления равновесия поршень медленно перемещается без трения о стенки цилиндра.

1. Найдите конечную температуру содержимого цилиндра.

2. Найдите время, в течение которого разность температур между частями цилиндра уменьшается в \(e\) раз по сравнению с начальной разностью температур \(T_0\).

3. Найдите зависимость объёма левой части цилиндра от времени \(V_1(t)\).

На рисунке приведён фрагмент графика зависимости от времени \(\tau\) средней мощности \(N_\text{ср}\), равной отношению суммарного количества теплоты, переданного слитку серебра массой \(m = 50\text{ г}\), ко времени его теплообмена с внешними телами. Через некоторое время после начала теплообмена температура слитка в состоянии \(A\) увеличилась до \(t_A = 40\,^\circ\text{C}\), а спустя ещё \(2{,}2\) мин (в состоянии \(B\)) она вновь оказалась равна \(t_A\). Удельная теплоёмкость серебра \(c = 240\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}\).

1. Восстановите координатные оси графика и их масштаб, если известно, что начало оси времени совпадает с началом оси \(N_\text{ср}\).

2. Найдите начальную температуру \(t_0\) слитка серебра (при \(\tau = 0\)).

3. Найдите температуры слитка, средние и мгновенные мощности теплообмена с внешними телами в состояниях, соответствующих точкам \(C\) и \(D\).

Для измерения температуры можно использовать термистор — элемент, проводимость \(G\) которого сильно зависит от его температуры. На графике этой зависимости, представленном на отдельном листе, \(G_{25}\) — проводимость термистора при \(25\ ^\circ\)C. Термистор подключается последовательно к источнику постоянного напряжения и амперметру, показания которого встроенный компьютер переводит в числовое значение температуры, выводимое на экран. Известно, что при номинальном напряжении источника экран показывает верное значение температуры термистора. Экспериментатор Глюк решил поэкспериментировать с этим прибором в собственной лаборатории. Оказалось, что при реальном значении температуры воздуха \(27\ ^\circ\)C и поданном на термистор номинальном напряжении экран показывает \(29\ ^\circ\)C. При ответе на вопросы 1 и 2 считайте, что напряжение на термисторе равно номинальному.

1. При какой температуре воздуха \(t_1\) экран прибора показал бы значение, превышающее \(t_1\) на \(1\ ^\circ\)C?

2. Какое значение показал бы экран прибора при температуре воздуха \(38{,}5\ ^\circ\)C?

3. Продолжая эксперименты, Глюк увеличил напряжение источника, сделав его вдвое больше номинального. Какое значение температуры покажет экран в этом случае, если Глюк не менял настройки компьютера, а температура воздуха в лаборатории равна \(24\ ^\circ\)C?

Амперметр считайте идеальным. Мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Термистор во всех экспериментах находится в воздухе, не контактируя с другими предметами, а все измерения проводятся в установившемся режиме.

Два одинаковых вертикальных тонкостенных цилиндрических сосуда внутреннего радиуса \(r\), в которых под поршнями находятся равные количества идеального газа, поставили в комнату с температурой воздуха \(T_0\). В одном сосуде газ имеет температуру \(T_\text{Х} < T_0\), а в другом — температуру \(T_\text{Г} > T_0\). Дно цилиндров и поршень теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки прямо пропорциональна произведению площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды: \(N = \alpha S\Delta T\), где \(\alpha\) — некоторая константа. Атмосферное давление \(p_0\), поршни легкие. Молярная теплоемкость газа в сосудах при постоянном давлении \(C_p\). Известно, что максимальные скорости, с которыми двигались поршни каждого из цилиндров вплоть до установления в них комнатной температуры равны по модулю (\(v_\text{Х}^{\max} = v_\text{Г}^{\max}\)). Выразите \(T_\text{Г}\) через \(T_0\) и \(T_\text{Х}\).

Закрытый сосуд с водой массой \(m\) поставили на нагревательный элемент в результате чего, температура жидкости повысилась от \(70\,^\circ\)С до \(71\,^\circ\)С за 7 с. Если увеличить массу воды в два раза, а мощность нагревательного элемента в три раза, то изменение температуры от \(70\,^\circ\)С до \(71\,^\circ\)С происходит за 4 секунды. Найдите время, за которое температура воды массой \(2m\) понизится от \(71\,^\circ\)С до \(70\,^\circ\)С, если нагревательный элемент отключить? Теплоёмкостью самого сосуда пренебречь.

На рисунке, представленном ниже, вы видите вольт-амперную характеристику лампочки накаливания. Известно, что если подключить эту лампочку к идеальному источнику, напряжение между выводами которого равно 5 В, то при температуре в комнате вдали от лампочки \(t_0 = 20\,^\circ\)С температура лампочки \(t_1\) установится на \(\Delta t = 32\,^\circ\)C выше комнатной. Лампочку соединяют последовательно с резистором сопротивлением 3 Ом и подключают образовавшуюся цепь к тому же идеальному источнику с напряжением 5 В, что и в первом случае.

1. (2 балла) Найдите величину \(I\) силы тока, текущего через резистор. Варианты \(I\), А, по номерам столбцов: 1) 0,62; 2) 0,55; 3) 0,50; 4) 0,40; 5) 0,36; 6) 0,32.

2. (3 балла) Считая мощность теплоотдачи с поверхности лампочки пропорциональной разности температур лампочки и окружающей среды вдали от лампочки, найдите температуру \(t_2\) лампочки. Варианты \(t_2\), \(^\circ\)C, по номерам столбцов: 1) 52; 2) 45; 3) 42; 4) 38; 5) 32; 6) 28.

На рисунке, представленном ниже, вы видите вольт-амперную характеристику лампочки накаливания. Известно, что если подключить эту лампочку к идеальному источнику, напряжение между выводами которого равно 5 В, то при температуре в комнате вдали от лампочки \(t_0 = 20\,^\circ\text{С}\) температура лампочки \(t_1\) установится на \(\Delta t = 32\,^\circ\text{C}\) выше комнатной. Лампочку соединяют последовательно с резистором сопротивлением 3 Ом и подключают образовавшуюся цепь к тому же идеальному источнику с напряжением 5 В, что и в первом случае.

1. (2 балла) Определите силу тока \(I\), текущего через резистор.

   

2. (2 балла) Считая мощность теплоотдачи с поверхности лампочки пропорциональной разности температур лампочки и окружающей среды вдали от лампочки, найдите температуру \(t_2\) лампочки.

   

При увеличении тока через проволочный резистор он нагревается, при этом его температура в зависимости от протекающего тока изменяется нелинейно. При малых токах, составляющих для типичных резисторов величину порядка 10 мА, температура резистора \(T\) практически неотличима от температуры окружающей среды \(T_0\). При увеличении тока до некоторого предельного значения \(I_{\max}\) резистор очень быстро (почти мгновенно) нагревается до очень высокой температуры и плавится (сгорает).

Пусть сопротивление некоторого резистора при комнатной температуре и токе 1 мА равно 10 Ом. Известно, что значение предельного тока для этого резистора равно \(I_{\max} = 1{,}35\) А. Найдите сопротивление резистора и напряжение на нём при токе, равном \(0{,}8I_{\max}\).

Можно считать, что зависимость сопротивления резистора от температуры линейная: \(R(T) = R_0\,(1 + \alpha(T - T_0))\), \(R_0\) "— сопротивление резистора при температуре \(T_0\), \(\alpha\) "— неизвестный коэффициент. Мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур резистора и окружающей среды.

Задняя стенка не очень современного морозильника, на которой располагаются трубки конденсатора холодильной машины, работающей по обращённому циклу Карно, греется, так что её средняя температура \(T_S\) в рабочем режиме выше температуры в комнате \(T_R\). Внутри морозильной камеры холодильная машина поддерживает среднюю температуру \(T_C = -23\,{}^\circ\text{С}\).

Известно, что в стационарном режиме, когда температура задней стенки и температура в камере установились, а температура в комнате не меняется со временем, мотор компрессора этого не очень современного морозильника работает без остановки.

В жару, когда температура в комнате поднимается до \(T_R^{(0)} = +27\,{}^\circ\text{С}\), задняя стенка нагревается до \(T_S^{(0)} = +47\,{}^\circ\text{С}\). Определите температуру задней стенки морозильника зимой в холодный день, когда температура воздуха в комнате уменьшается до значения \(T_R^{(1)} = +17\,{}^\circ\text{С}\).

Мощность передачи тепла от горячего тела холодному (например, от воздуха в комнате холодильной камере через теплоизоляцию) пропорциональна разности соответствующих температур.

В тонкостенном цилиндрическом сосуде внутреннего радиуса \(R\) под поршнем находится столб воды высотой \(h_1\) при температуре \(t_0 = 0\ {}^\circ\text{С}\). Поршень и дно цилиндра теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки пропорциональна площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды \(N = \alpha\cdot S\Delta t\), где \(\alpha\) известная константа. Цилиндр вертикально ставят в холодильник, начальная температура в котором равна \(t_1 < 0\ {}^\circ\text{С}\). Далее температуру в холодильнике изменяют так, что поршень цилиндра перемещается с постоянной скоростью. Лёд, образующийся в цилиндре, не мешает свободному движению поршня. Более того, лёд не всплывает над поверхностью воды, а упирается в поршень, будучи полностью погружённым в воду, время от времени отрываясь от стенок сосуда. Удельная теплота плавления льда \(\lambda\), плотности воды \(\rho_\text{в}\), плотность льда \(\rho_\text{л}\).

1. Определите в какую сторону и с какой скоростью \(v\) перемещается поршень.

2. Найдите в течение какого промежутка времени \(\tau_{\max}\) продолжается такое движение.

3. Установите зависимость температуры \(t\) в холодильнике от времени \(\tau\) в промежутке времени \([0,\ \tau_{\max}]\). Выразите её через \(h_1\), \(t_0\), \(t_1\), \(v\), \(\tau\).

4. Найдите температуру в момент времени \(\tau_{\max}\). Выразите через \(t_0\), \(t_1\), \(\rho_\text{в}\), \(\rho_\text{л}\).

В комнате с температурой воздуха \(t_\text{к} = 25\ {}^\circ\)C находится батарея аккумуляторов с суммарной ЭДС \(U = 200\) В и суммарным внутренним сопротивлением \(r = 20\) Ом. Выводы батареи подсоединены к электрической розетке. Изначально в эту розетку был включен кипятильник номер 1 с сопротивлением \(R = 200\) Ом, опущенный в стакан с холодной водой, которую он смог прогреть только до температуры \(t_1 = 50\ {}^\circ\)C. Потом кипятильник вынули из розетки и вставили в неё разветвитель питания (так называемый «тройник»). К первым двум его выходам подключили кипятильники номер 1 и номер 2 (такой же, как кипятильник 1), а к третьему — кипятильник номер 3, той же формы, изготовленный из тех же материалов, но все размеры которого в \(n = 2\) раза меньше, чем у кипятильника номер 1. Эти кипятильники положили в стаканы с холодной водой: кипятильники 1 и 3 — в такие же, что и изначально, а кипятильник 2 — в стакан, все размеры которого в \(n\) раз меньше, чем у исходного стакана. До каких температур \(t_2\) и \(t_3\), соответственно, нагреется за длительное время вода в стаканах, в которые помещены кипятильники 2 и 3? Мощность тепловых потерь через единицу площади поверхности считайте пропорциональной разности температур.

В этой задаче рассматривается эффект уменьшения температуры капли воды вследствие испарения с её поверхности при близких к комнатным давлении и температуре.

В одном из экспериментов шарообразная капля воды радиусом порядка миллиметра удерживалась силами поверхностного натяжения на тонкой полимерной леске. Зависимость температуры капли от времени измерялась с помощью высокоточного инфракрасного тепловизора. Вдали от капли (на «бесконечности») поддерживались постоянные значения: температуры \(T_\infty\), давления \(p_\infty\) и относительной влажности воздуха \(\varphi_\infty\). Обнаружилось, что если в начальный момент температура капли была равна температуре на бесконечности \(T_\infty\), то затем в течение короткого времени она уменьшалась до значения \(T_\infty - \Delta T\) (\(\Delta T\) порядка нескольких градусов) и далее длительное время оставалась постоянной. Предлагается определить величину разности температур \(\Delta T\), учитывая диффузию пара от капли на бесконечность и тепловой поток, обусловленный разностью температур капли и воздуха на бесконечности. Конвекцией и передачей тепла по леске предлагается пренебречь.

В стационарном режиме в пространстве вне капли устанавливается распределение концентрации пара \(n(r)\) и температуры \(T(r)\). В силу сферической симметрии концентрация и температура зависят только от расстояния до центра капли \(r\) и удовлетворяют уравнениям: \[\frac{dN}{dt} = -D \cdot 4\pi r^2 \frac{dn}{dr}, \qquad \frac{dQ}{dt} = -\kappa \cdot 4\pi r^2 \frac{dT}{dr}.\] где \(dN\) — количество молекул пара, проходящих за время \(dt\) через поверхность сферы радиусом \(r\), концентрической с каплей, \(dQ\) — количество тепла, переносимого за время \(dt\) через поверхность той же сферы; коэффициенты диффузии и теплопроводности \(D\) и \(\kappa\) можно считать постоянными. Маленькими стрелками на рисунке символически показан поток диффундирующих молекул пара.

A. Коэффициенты диффузии и теплопроводности \(D\) и \(\kappa\), молярная масса \(\mu_{\text{H}_2\text{O}}\), удельная теплота испарения воды \(L\) и радиус капли \(r_0\) считаются известными. Изменение радиуса капли вследствие испарения можно считать незначительным.

A1) Температура у поверхности капли \(T(r_0)\) и температура на бесконечности \(T_\infty\) (см. рис.) известны. Определите тепловой поток \(\dfrac{dQ}{dt}\) и распределение температуры \(T(r)\).

A2) Известны концентрации пара: \(n(r_0)\) и \(n_\infty\), определите массу воды, испаряющейся с поверхности капли за малое время \(t\).

A3) Используя результаты пунктов A1) и A2), выразите разность плотностей пара у капли и на бесконечности \(\Delta\rho = \rho(r_0) - \rho_\infty\) через разность температур \(\Delta T = T_\infty - T(r_0)\).

B. Отношение коэффициентов теплопроводности и диффузии в условиях задачи удовлетворяет соотношению: \[\frac{\kappa}{D} = \frac{v_{\text{в}}}{v_{\text{H}_2\text{O}}} \cdot \frac{c_V \rho_{\text{в}}}{\mu_{\text{в}}},\] где \(v_{\text{H}_2\text{O}}\) и \(v_{\text{в}}\) — среднеквадратичные скорости молекул воды и воздуха, \(c_V = 2{,}5R\) — молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме, \(\rho_{\text{в}}\) — плотность воздуха. Определите отношение коэффициентов при температуре 300 К. При расчёте плотности давление воздуха можно считать равным \(10^5\) Па. Универсальная газовая постоянная равна \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К), молярные массы воды и воздуха: \(\mu_{\text{H}_2\text{O}} = 18\) г/моль и \(\mu_{\text{в}} = 29\) г/моль соответственно. Убедитесь в том, что при изменении температуры на 10 К отношение коэффициентов меняется незначительно.

C. Используя график зависимости плотности насыщенного пара воды от температуры, приведённый на рисунке ниже, а также результаты, полученные в частях A и B, определите как можно точнее величину разности температур \(\Delta T\), для следующих значений параметров на бесконечности: \(T_\infty = 27\,^\circ\)С, \(\varphi_\infty = 70\) %. Удельная теплота испарения воды и давление воздуха равны: \(L = 2{,}4 \cdot 10^6\) Дж/кг и \(p_0 = 10^5\) Па соответственно.

Элемент Пельтье состоит из двух пластин, разделённых большим количеством полупроводниковых блоков (рис. из «Википедии» ниже), и представляет собой преобразователь электрической энергии в тепловую. Он также может работать и в обратном режиме — вырабатывать ЭДС при наличии разности температур на пластинах.

На втором рисунке схематично изображено устройство на основе элемента Пельтье. Нижняя пластина находится в контакте с «тепловым резервуаром» — большим телом, температуру которого \(T_r\) можно считать постоянной. Верхняя пластина контактирует с телом с теплоёмкостью \(C\) и температурой \(T\), которая изменяется со временем. Сверхпроводящая катушка с индуктивностью \(L\) включена между контактами элемента. В начальный момент: \(T = T_0\), \(T_0 > T_r\).

В данных условиях верхнее тело отдаёт элементу за время \(\Delta t\) количество теплоты \(\Delta Q = \alpha T I \Delta t\), где \(\alpha\) — постоянный коэффициент, \(I\) — ток через элемент. Положительным направлением тока считается направление от «плюса» к «минусу». Элемент Пельтье при этом вырабатывает ЭДС, которая равна \(\mathcal{E} = \alpha(T - T_r)\). Полярность создаваемой ЭДС (для \(T > T_r\)) совпадает с указанной на рисунке. Сопротивление элемента Пельтье равно \(R\).

Оказывается, в рассматриваемой системе возможно периодическое изменение температуры тела \(T(t)\) и тока в цепи \(I(t)\). В задаче предлагается исследовать колебания тока и температуры при различных значениях параметров: \(T_r\), \(T_0\), \(C\), \(\alpha\), \(R\), которые считаются известными. Ток в цепи в начальный момент равен нулю: \(I(0) = 0\). Разность температур тела и резервуара можно считать малой: \(|T - T_r| \ll T_r\) в любой момент времени.

1. Рассмотрим идеализированный, фантастический случай, когда сопротивление \(R\) равно нулю и теплообмен между тепловым резервуаром и телом за счёт теплопроводности отсутствует.

1a) Получите дифференциальное уравнение для функции \(I(t)\). (2 балла)

1b) Преобразуйте полученное уравнение с учётом условия \(|T - T_r| \ll T_r\) и найдите частоту \(\omega_0\) колебаний тока. (3 балла)

1c) Найдите зависимость температуры тела от времени \(T(t)\). (1 балл)

2. Физически случай, описанный в п. 1, никогда не реализуется. Рассмотрим параметры системы, близкие к реальности. Пусть известно сопротивление элемента \(R\), мощность передачи тепла от тела резервуару определяется соотношением \(P = k(T - T_r)\), где \(k\) — известный коэффициент, а Джоулево тепло, выделяющееся в элементе, делится поровну между пластинами. В этом случае колебания будут затухающими.

2a) Получите дифференциальное уравнение для функции \(I(t)\) в этом случае. (3 балла)

2b) Покажите, что нелинейными слагаемыми, пропорциональными \(I^2\) и \(I\dot I\), (точка сверху обозначает производную по времени) в уравнении из п. 2a) можно пренебречь и преобразуйте полученное уравнение к виду \(\ddot I + 2\gamma\dot I + \omega^2 I = 0\) (уравнение затухающих колебаний). Чему равны коэффициенты \(\gamma\) и \(\omega\)? (4 балла)

2c) Полагая затухание слабым (\(\gamma^2 \ll \omega^2\)), определите относительное изменение амплитуды тока за период \(\dfrac{\Delta I_{\max}}{I_{\max}}\). Ответ выразите через коэффициенты \(\gamma\) и \(\omega\). (3 балла)

3. Предлагается создать на основе данного устройства установку для точного измерения теплоёмкости тел. Параметры: \(T_r\), \(\alpha\), \(k\), \(R\), \(L\) известны. Их измерили раньше с высокой точностью. В распоряжении экспериментатора есть электроизмерительные приборы, осциллограф и генератор переменного напряжения, частоту которого можно менять в широком диапазоне. Опишите в двух словах возможную схему эксперимента. (2 балла)

Десятиклассник Паша, познакомившись на прошедшем региональном этапе со свойствами термистора, решил собрать электрическую цепь, состоящую из источника, ЭДС которого можно регулировать, резистора сопротивлением \(r = 40\) Ом, а также соединённых между собой параллельно диода и термистора (см. рис. 1). ЭДС источника можно изменять в пределах от 0 В до некоторого достаточного большого значения \(\mathcal{E}_{max}\).

Паше известно, что вольт-амперная характеристика диода имеет вид, представленный на рис. 2, а температурная зависимость сопротивления термистора задаётся формулой \[R(t) = R_0/(1 + \alpha(t - t_0))^2,\] где \(R_0 = 60\) Ом — сопротивление термистора при комнатной температуре \(t_0\) (значение константы \(\alpha\) мальчик не нашёл). Включив источник и медленно увеличивая его ЭДС, Паша обнаружил, что диод открывается при ЭДС источника \(\mathcal{E}_1 = 5\) В.

1. Продолжая свои эксперименты, Паша взял мощный лазер и стал светить им прямо на термистор. Оказалось, что диод при этом закрылся и, более того, никакие изменения ЭДС источника не приводили к его открытию! Определите минимальную тепловую мощность \(P\), передаваемую при этом от лазера термистору.

2. Выключив лазер, Паша обнаружил, что диод остался закрытым, несмотря на то, что ЭДС источника была близка к \(\mathcal{E}_{max}\). Удивившись, мальчик стал плавно уменьшать ЭДС. При каком максимальном значении ЭДС источника \(\mathcal{E}_2\) диод снова откроется?

Напряжение на открытом диоде равно \(U_0 = 2\) В. Теплоёмкостью термистора и внутренним сопротивлением источника можно пренебречь. Мощность тепловых потерь пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Термистор во всех экспериментах находится в воздухе, имеющем температуру \(t_0\), не контактируя с другими предметами.