Тепловая разминка

Если смесь воды и льда находится в равновесии, то массы фаз находятся из равенства теплоёмкостей: \(c_1m_1=c_2m_2\). Нагрев и охлаждение при \(0\,^\circ\)C сопровождаются плавлением или замерзанием. Мощность нагревателя найдите по наклону начального участка графика.

1) \(m_1=0{,}40\) кг льда и \(m_2=0{,}20\) кг воды; \(Q_1\approx135\) кДж, \(Q_2\approx67{,}3\) кДж, \(\eta=\dfrac{Q_1}{Q_2}=2{,}0\); 2) \(P\approx168\) Вт, \(\tau_1\approx786\) с (13 мин), \(\tau_2=300\) с (5,0 мин); 3) \(C(t)=(4{,}32+1{,}20\,\eta(t))\) кДж/\(^\circ\)С, \(Q\approx240\) кДж.

1. Определим массу льда \(m_1\) и массу воды \(m_2\), находящейся в сосуде, из системы уравнений, следующих из условия:

\[\begin{cases} m = m_1 + m_2 \\ c_1 m_1 = c_2 m_2 \end{cases}.\tag{1}\]

Решение системы имеет вид

\[\begin{aligned} m_1 &= \frac{c_2}{c_1 + c_2} m = 0{,}40\,\text{кг} \\ m_2 &= \frac{c_1}{c_1 + c_2} m = 0{,}20\,\text{кг} \end{aligned}.\tag{2}\]

Количество теплоты \(Q_1\), необходимое для повышения температуры системы на \(\Delta t_1 = 1{,}0^\circ\text{С}\), складывается из количества теплоты \(Q_{11}\), идущей на плавление льда

\[Q_{11} = \lambda \cdot m_1 = 132\,\text{кДж}\tag{3}\]

и количества теплоты \(Q_{12}\), идущего на последующее нагревание воды массой \(m = m_1 + m_2\) на \(\Delta t_1 = 1{,}0^\circ\text{С}\). Расчет в данном случае дает

\[Q_{12} = c_2 (m_1 + m_2) \Delta t_1 = 2{,}52\,\text{кДж}.\tag{4}\]

Суммарное количество теплоты при данной процедуре

\[Q_1 = Q_{11} + Q_{12} = 135\,\text{кДж}.\tag{5}\]

Соответственно, количество теплоты \(Q_2\), необходимое для понижения температуры системы на тот же градус \(\Delta t_1 = 1{,}0^\circ\text{С}\) складывается из количества теплоты \(Q_{21}\), идущей на замораживание воды

\[Q_{21} = \lambda \cdot m_2 = 66{,}0\,\text{кДж}\]

и количества теплоты \(Q_{22}\), необходимого для последующего охлаждения льда массой \(m = m_1 + m_2\) на \(\Delta t_1 = 1{,}0^\circ\text{С}\)

\[Q_{22} = c_1 (m_1 + m_2) \Delta t_1 = 1{,}26\,\text{кДж}.\]

Суммарное количество теплоты, необходимое для этого

\[Q_2 = Q_{21} + Q_{22} = 67{,}3\,\text{кДж}.\]

Таким образом, отношение средних теплоемкостей системы при данных тепловых процессах

\[\eta = \frac{C_1}{C_2} = \frac{Q_1}{Q_2} = 2{,}0.\tag{6}\]

Результат (6) вполне понятен, поскольку массы и теплоемкости фаз (льда и воды) в калориметре различны, что приводит к различию теплот \(Q_1\) и \(Q_2\) в тепловых процессах различных направлений.

2. Рассмотрим начальный (наклонный) участок \(\text{АВ}\) графика (см. рис.). За время \(\Delta\tau\) в системе выделится количество теплоты \(P\Delta\tau\), где \(P\) — искомая мощность нагревателя. Пусть за это время температура системы увеличилась на \(\Delta t\), тогда согласно уравнению теплового баланса можем записать

\[P\Delta\tau = (c_1 m_1 + c_2 m_2)\Delta t.\tag{7}\]

Из последнего равенства следует, что мощность нагревателя

\[P = (c_1 m_1 + c_2 m_2)\frac{\Delta t}{\Delta\tau}.\tag{8}\]

Величина \(\frac{\Delta t}{\Delta\tau}\) представляет собой угловой коэффициент наклона начального участка графика, который несложно определить по рисунку

\[\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = \frac{2{,}0^\circ\text{С}}{20\,\text{с}} = 0{,}10\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{с}}.\tag{9}\]

Как видно из (9), угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой в данном случае имеет «экзотическую» размерность, определяемую размерностями величин, приведенных вдоль соответствующих осей координат.

Расчет по формуле (8) с учетом выражения (9) дает

\[P = (c_1 m_1 + c_2 m_2)\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = 168\,\text{Вт} = 0{,}17\,\text{кВт}.\tag{10}\]

С такой мощностью нагревателя лед расплавится за время

\[\tau_1 = \frac{m_1 \cdot \lambda}{P} = 786\,\text{с} = 13\,\text{мин}.\tag{11}\]

Соответственно, время разогрева системы до температуры \(t_2 = 20^\circ\text{С}\) найдем как

\[\tau_2 = \frac{c_2(m_1 + m_2)t_2}{P} = 300\,\text{с} = 5{,}0\,\text{мин}.\tag{12}\]

3. Пусть в сосуде находится масса \(m_2\) растворителя, тогда масса растворенной соли будет

\[m_1 = \eta \cdot m_2.\tag{13}\]

Соответственно, масса нерастворенной соли в сосуде

\[m_3 = m - m_1 = m - \eta \cdot m_2.\tag{14}\]

Для полной теплоемкости системы в данном случае можем записать

\[C = c_1 m_1 + c_2 m_2 + c_3 m_3 = c_1 \eta m_2 + c_2 m_2 + c_3(m - \eta \cdot m_2).\tag{15}\]

Перепишем последнее равенство в виде

\[C = c_2 m_2 + c_3 m + \eta m_2 (c_1 - c_3).\]

Как следует из условия задачи, в данном пункте следует проводить численные расчеты, используя три значащие цифры. Подставляя в (15) численные значения, получим

\[C(t) = (4{,}32 + 1{,}20 \cdot \eta(t)) \frac{\text{кДж}}{^\circ\text{С}}.\tag{16}\]

График полученной зависимости представлен на рисунке.

При нагревании системы от температуры \(t_1 = 50{,}0^\circ\text{С}\) до температуры \(t_2 = 100^\circ\text{С}\) необходимо подсчитать площадь под приведенным графиком (площадь трапеции).

Расчет с точностью до трех значащих цифр дает

\[Q = 240\,\text{кДж} = 0{,}240\,\text{МДж}.\tag{17}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.