Скольжение

В задаче с вязким трением суммируйте уравнение \(m\Delta v=-b\Delta x\) по всем малым промежуткам — получится связь полного изменения скорости и пройденного пути. Для шайб на доске перейдите к пути относительно доски: до остановки шайба пройдёт больше доски, и соскользнут те, что были ближе к краю.

1) \(S=\dfrac{v_0^2}{2\mu g}\); 2) \(S=\dfrac{mv_0}{b}\); 3) \(n=\Bigl[\dfrac{v_0^2}{4\mu gl}\Bigr]+1\) (путь доски \(S_0=\dfrac{v_0^2}{4\mu g}\), шайбы \(S_1=\dfrac{v_0^2}{2\mu g}\), скользят шайбы с расстояний меньше \(S_1-S_0\) от края); 4) \(n=\Bigl[\dfrac{mv_0}{bl}\Bigr]+1\); 5) \(q=ne\,\dfrac{\pi d^2}{4}\,\dfrac{mR\omega}{\beta}\).

1. Со стороны стола на шайбу действует сила трения равная

\[F = \mu m g.\tag{1}\]

Работа этой силы «съест» кинетическую энергию шайбы, поэтому

\[\frac{m v_0^2}{2} = \mu m g S \quad \Rightarrow \quad S = \frac{v_0^2}{2 \mu g}.\tag{2}\]

Примечание. Эту задачу также можно решать на основании 2 закона Ньютона.

2. Запишем уравнение 2 закона Ньютона для шайбы

\[m a = -b v\tag{3}\]

И воспользуемся определениями ускорения и скорости

\[m \frac{\Delta v}{\Delta t} = -b \frac{\Delta x}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad m \Delta v = -b \Delta x.\tag{4}\]

Это соотношение справедливо для малых промежутков времени, но если просуммировать по всем промежуткам за все время движения, то его можно рассматривать для полных изменений скорости и координаты, поэтому

\[m \Delta v = -b \Delta v \quad \Rightarrow \quad m(0 - v_0) = -b(S - 0) \quad \Rightarrow \quad S = \frac{m v_0}{b}.\tag{5}\]

3. Так как массы шайб значительно меньше массы доски, то движение доски можно рассматривать независимо от движения шайб. На лоску действует сила трения со стороны стола \(F_0 = 2 \mu m g\) (силой

трения со стороны шайб следует пренебречь ввиду малости их масс). Следовательно, до полной остановки доска пройдет путь равный

\[S_{0}=\frac{v_{0}^{2}}{4 \mu g} .\tag{6}\]

Очевидно, что все шайбы начнут двигаться относительно доски, обгоняя ее.

На каждую шайбу действует сила трения \(F_{1}=\mu m g\) (независимой от скоростей доски и самой шайбы). Поэтому в той же системе отсчета, связанной с неподвижной поверхностью, каждая шайба может пройти (если не соскользнет с доски) до остановки путь равный

\[S_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g} .\tag{7}\]

С доски соскользнут все шайбы, которые находились изначально на расстояниях меньших \(\Delta S=S_{1}-S_{0}=\frac{v_{0}^{2}}{4 \mu g}\) от переднего края доски. Число таких шайб

\[n=\left[\frac{v_{0}^{2}}{4 \mu g l}\right]+1 .\tag{8}\]

Здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа.

4. Запишем уравнение 2 закона Ньютона для шайбы в инерциальной системе отсчета, связанной с неподвижной поверхностью

\[m a=-b\left(v-v_{0}\right) \quad \Rightarrow \quad m \frac{\Delta v}{\Delta t}=-b\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}-\frac{\Delta x_{0}}{\Delta t}\right) ,\tag{9}\]

где \(x, x_{0}\) и \(v, v_{0}\) координаты и скорости шайбы и доски. Применяя операцию суммирования, описанную в пункте 2, получим

\[\begin{gathered} m \Delta v=-b\left(\Delta x-\Delta x_{0}\right) \quad \Rightarrow \quad m\left(0-v_{0}\right)=-b\left(S-S_{0}\right) \quad \Rightarrow \\ S-S_{0}=\frac{m v_{0}}{b} \end{gathered} .\tag{10}\]

Следует заметить, что путь \(S-S_{0}\), пройденный шайбой по доске, не зависит от закона торможения самой доски!

Число шайб, которые соскользнут с доски в этом случае равно

\[n=\left[\frac{m v_{0}}{b l}\right]+1 .\tag{11}\]

5. Используя результат (10), полученный в предыдущем пункте, находим, что каждый электрон пройдет по проводу путь равный

\[L=\frac{m R \omega}{\beta} .\tag{12}\]

Те электроны, которые находятся на меньших расстояниях от гальванометра пробегут через него. Их число равно

\[N=n s L=n \frac{\pi d^{2}}{4} \frac{m R \omega}{\beta} .\tag{13}\]

Они несут заряд

\[q=e N=n e \frac{\pi d^{2}}{4} \frac{m R \omega}{\beta} .\tag{14}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.