Брусок на тележке

Брусок и тележка движутся с одинаковой скоростью после того, как проскальзывание прекратилось. Найдите смещение бруска относительно тележки к этому моменту.

Брусок и тележка будут двигаться следующим образом. Пока скорость тележки больше скорости бруска (как в начальный момент), на брусок со стороны тележки действует сила трения в направлении её движения, на тележку со стороны бруска — сила трения в противоположном направлении. Поэтому брусок разгоняется, тележка тормозит. В тот момент, когда скорости тел сравняются (если брусок к этому моменту не упадёт с тележки), сила трения между бруском и тележкой станет равной нулю, и тела будут двигаться вместе с постоянной скоростью.

Поэтому, если брусок к моменту остановки своего движения относительно тележки не упадёт с неё, то не упадёт и в дальнейшем. Для нахождения минимальной длины тележки надо найти перемещение бруска относительно тележки к тому моменту, когда их скорости сравняются, и потребовать, чтобы длина тележки была больше этого перемещения. Ускорения бруска и тележки находим по второму закону Ньютона. Сила трения между бруском и тележкой равна \(kmg\), поэтому \[a_{\text{б}}=kg, \qquad a_{\text{т}}=\frac{kmg}{M}.\] Скорости бруска и тележки сравняются в момент времени \(t\) после того, как брусок положили на тележку: \[v_0-a_{\text{т}}t=a_{\text{б}}t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{v_0}{a_{\text{б}}+a_{\text{т}}}.\] Тележка до этого момента пройдёт расстояние \[x_{\text{т}}=v_0t-\frac{a_{\text{т}}t^2}{2}=\frac{v_0^2\,(2a_{\text{б}}+a_{\text{т}})}{2\,(a_{\text{б}}+a_{\text{т}})^2},\] а брусок \[x_{\text{б}}=\frac{a_{\text{б}}t^2}{2}=\frac{v_0^2\,a_{\text{б}}}{2\,(a_{\text{б}}+a_{\text{т}})^2}.\] Брусок не упадёт с тележки, если её длина больше разности расстояний, пройденных тележкой и бруском: \[l \ge x_{\text{т}}-x_{\text{б}}=\frac{v_0^2}{2\,(a_{\text{б}}+a_{\text{т}})}=\frac{v_0^2M}{2kg\,(m+M)}.\]