ИОШ, 2016/17, отборочный этап, 9-10 класс

Подсказка

Что происходит с давлением воздуха в резервуаре, когда вода из него вытекает, и при каком уровне воды в корытце в резервуар может попасть воздух?

Решение

Когда вода вытекает из резервуара 1, под пробкой образуется разрежение, и атмосферное давление, действующее на поверхность воды в корытце, не даёт ей вытекать из резервуара. Однако когда уровень воды в корытце опускается ниже трубки 4, по ней в резервуар попадает воздух, давление в резервуаре становится равным атмосферному, и вода по трубке 5 вытекает из резервуара. После того как уровень воды в корытце становится выше горизонтального участка трубки 4, под пробкой образуется разрежение, и вода перестаёт вытекать из резервуара.

Подсказка

Песчинки могут переместиться только вместе с водой. Какое движение воды возникает, если одна сторона стакана холоднее другой, и куда оно направлено на рисунке?

Ответ

На улице холодно.

Решение

Переместить взвесь песчинок из одного места стакана в другое можно только с помощью движения воды. Наиболее заметное движение воды — это конвекция: опускание тяжёлых холодных масс воды и подъём горячих. Значит, температура на улице отличается от температуры в комнате, чтобы улица могла «греть» или «охлаждать» воду в стакане, вызывая конвекцию.

Расположение песчинок возникнет, если организовать конвективные потоки в направлении стрелки на рисунке. Для этого нужно, чтобы слои воды, близкие к окну, охлаждались. Тогда нижние слои движутся в направлении комнаты, а более тёплые слои, которые были там, поднимаются вверх. В результате песчинки, опускаясь вниз, смещаются током воды в направлении комнаты. Поэтому на улице холодно.

Подсказка

Какое количество теплоты в единицу времени отдаёт батарея, если через неё проходит масса \(\mu\) воды в единицу времени?

Ответ

\(\mu \approx 0{,}107\ \text{кг/с}\).

Решение

Пусть в единицу времени через батарею проходит масса воды \(\mu\). Такое количество воды входит в батарею с температурой \(t_1\) и выходит с температурой \(t_2\). Следовательно, в единицу времени батарея теряет \(c\mu(t_1-t_2)\), где \(c\) — удельная теплоёмкость воды. Потеря батареей тепла в единицу времени и есть мощность батареи. Поэтому \[P = c\mu\,(t_1-t_2),\] и, следовательно, \[\mu = \frac{P}{c\,(t_1-t_2)} = 0{,}107\ \text{кг/с}.\]

Подсказка

Каждый выключатель должен переключать ток с верхней линии на нижнюю и наоборот. Какой режим двойного выключателя это обеспечивает?

Ответ

В первом варианте нужно три двойных выключателя во втором режиме, во втором — четыре.

Решение

В данной в условии цепи выключатели выполняют функцию переключения тока с верхней линии цепи на нижнюю и наоборот. Поэтому если в системе с большим количеством выключателей каждый будет делать то же самое — переключать ток с верхней линии на нижнюю и наоборот, то каждый (независимо от положения других) будет включать и выключать лампочку. Значит, для организации требуемой цепи необходимо использовать нужное количество двойных выключателей во втором режиме. Например, для цепи, показанной на рисунке, лампочка горит.

Если переключить любой выключатель (например, \(K_2\); см. рисунок), лампочка погаснет.

Если в этом положении переключить любой выключатель, лампочка снова загорится (например, \(K_3\); см. рисунок).

И т.д. В первом варианте нужно вставить три таких двойных выключателя, во втором — четыре.

Подсказка

Процентное содержание платины в новом сплаве такое же, как в исходных. Найдите его по массе платины и общей массе сплава, затем — содержание золота и серебра в исходных сплавах.

Ответ

Масса золота \(m_{\text{З}}=1{,}61\) кг; масса серебра \(m_{\text{С}}=1{,}19\) кг.

Решение

Поскольку процентное содержание платины в исходных сплавах одинаково, оно будет таким же и в новом сплаве. Зная массу нового сплава и массу платины в нём, находим процентное содержание платины: \[\eta_{\text{П}}^{(1)}=\eta_{\text{П}}^{(2)}=\frac{m_{\text{П}}}{m_1+m_2}=30\%.\] Поэтому процентное содержание золота в первом сплаве и серебра во втором равно \[\eta_{\text{З}}^{(1)}=100-\eta_{\text{С}}^{(1)}-\eta_{\text{П}}^{(1)}=34\%, \qquad \eta_{\text{С}}^{(2)}=100-\eta_{\text{З}}^{(2)}-\eta_{\text{П}}^{(2)}=26\%.\] Отсюда находим массу золота и серебра в новом сплаве: \[m_{\text{З}}=\eta_{\text{З}}^{(1)}m_1+\eta_{\text{З}}^{(2)}m_2=1{,}61\ \text{кг}, \qquad m_{\text{С}}=\eta_{\text{С}}^{(1)}m_1+\eta_{\text{С}}^{(2)}m_2=1{,}19\ \text{кг}.\]

Подсказка

Брусок и тележка движутся с одинаковой скоростью после того, как проскальзывание прекратилось. Найдите смещение бруска относительно тележки к этому моменту.

Ответ

\(l \ge \dfrac{v_0^2 M}{2kg(m+M)}\).

Решение

Брусок и тележка будут двигаться следующим образом. Пока скорость тележки больше скорости бруска (как в начальный момент), на брусок со стороны тележки действует сила трения в направлении её движения, на тележку со стороны бруска — сила трения в противоположном направлении. Поэтому брусок разгоняется, тележка тормозит. В тот момент, когда скорости тел сравняются (если брусок к этому моменту не упадёт с тележки), сила трения между бруском и тележкой станет равной нулю, и тела будут двигаться вместе с постоянной скоростью.

Поэтому, если брусок к моменту остановки своего движения относительно тележки не упадёт с неё, то не упадёт и в дальнейшем. Для нахождения минимальной длины тележки надо найти перемещение бруска относительно тележки к тому моменту, когда их скорости сравняются, и потребовать, чтобы длина тележки была больше этого перемещения. Ускорения бруска и тележки находим по второму закону Ньютона. Сила трения между бруском и тележкой равна \(kmg\), поэтому \[a_{\text{б}}=kg, \qquad a_{\text{т}}=\frac{kmg}{M}.\] Скорости бруска и тележки сравняются в момент времени \(t\) после того, как брусок положили на тележку: \[v_0-a_{\text{т}}t=a_{\text{б}}t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{v_0}{a_{\text{б}}+a_{\text{т}}}.\] Тележка до этого момента пройдёт расстояние \[x_{\text{т}}=v_0t-\frac{a_{\text{т}}t^2}{2}=\frac{v_0^2\,(2a_{\text{б}}+a_{\text{т}})}{2\,(a_{\text{б}}+a_{\text{т}})^2},\] а брусок \[x_{\text{б}}=\frac{a_{\text{б}}t^2}{2}=\frac{v_0^2\,a_{\text{б}}}{2\,(a_{\text{б}}+a_{\text{т}})^2}.\] Брусок не упадёт с тележки, если её длина больше разности расстояний, пройденных тележкой и бруском: \[l \ge x_{\text{т}}-x_{\text{б}}=\frac{v_0^2}{2\,(a_{\text{б}}+a_{\text{т}})}=\frac{v_0^2M}{2kg\,(m+M)}.\]