Бруски
4/10На гладком горизонтальном столе лежат друг на друге три одинаковых по размерам бруска с массами \(m_1 = 3\) кг (нижний), \(m_2 = 1\) кг (средний) и \(m_3 = 1\) кг (верхний). Коэффициент трения \(\mu\) между любыми двумя брусками равен 0,3. На средний брусок в горизонтальном направлении начинает действовать сила \(F\).
Ответы на первые три вопроса дайте в ньютонах, округлите до целого. Определите максимально возможное значение силы \(F\), при котором:
(1 балл) тела движутся как единое целое;
(1 балл) средний брусок остаётся неподвижным относительно нижнего;
(1 балл) верхний брусок остаётся неподвижным относительно среднего.
(2 балла) Найдите ускорение среднего бруска для следующих значений силы \(F\): 5 Н, 15 Н. Ответы дайте в м/c\(^2\), округлите до целого.
Ускорение свободного падения равно 10 м/c\(^2\). Бруски при движении друг с друга не падают.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля каждой пары соприкасающихся брусков максимальная сила трения покоя равна \(\mu N\). Найдите, какое наибольшее ускорение она может сообщить телам, которые должны двигаться вместе с ведомым бруском.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 10 Н; 2) 10 Н; 3) 12 Н; 4) 1 м/с\(^2\) и 6 м/с\(^2\).
Доска и брусок с гирьками
5/10На горизонтальном столе лежит доска массой \(m_1 = 1\) кг, на которой находится брусок массой \(m_2 = 2\) кг. К бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, второй конец которой перекинут через идеальный блок, закреплённый на краю доски. Коэффициент трения между доской и бруском \(\mu = 0{,}2\). Вертикальный участок нити начинают аккуратно нагружать одинаковыми гирьками массами \(\Delta m = 75\) г каждая. При каком минимальном количестве \(n\) гирек система придёт в движение? Найдите модули и направления ускорений, с которыми в этом случае начнут двигаться доска и брусок. Трением между доской и поверхностью стола можно пренебречь, модуль ускорения свободного падения можно принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДвижение начнётся, когда сила натяжения нити сможет превысить максимальную силу трения покоя между бруском и доской. Затем запишите второй закон Ньютона для бруска, доски и гирек и свяжите их ускорения условием нерастяжимости нити.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветСистема придёт в движение при минимальном количестве гирек \(n = 6\); доска начнёт двигаться с ускорением \(a_{1x} = \dfrac{1-\dfrac{\mu m_2}{6\Delta m}}{1+\dfrac{m_1}{m_2}+\dfrac{m_1}{6\Delta m}}\,g \approx 0{,}3\) м/с\(^2\), направленным вправо; брусок начнёт двигаться с ускорением \(|a_{2x}| = \dfrac{\dfrac{\mu m_2}{6\Delta m}-1}{1+\dfrac{m_2}{m_1}+\dfrac{m_2}{6\Delta m}}\,g \approx 0{,}17\) м/с\(^2\), направленным влево.
Доска и брусок под нагрузкой
5/10На доске массой \(2m\) лежит брусок массой \(m\). Коэффициент трения между доской и столом \(\mu\), а между доской и грузом \(4\mu\). При какой минимальной массе \(M\) груза, прикреплённого к вертикальному участку нити, начнётся проскальзывание между доской и бруском?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧто начнёт скользить первой: доска по столу или брусок по доске? В пограничном случае сила трения на бруске максимальна, а ускорения бруска, доски и груза одинаковы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(M = \dfrac{15\mu}{4-\mu}\,m\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеМаксимально возможная сила трения, действующая на доску со стороны стола, равна \(3\mu mg\). Максимально возможная сила трения, действующая на брусок со стороны доски, равна \(4\mu mg\). Значит, при увеличении массы \(M\) сначала начнёт проскальзывать доска, а на брусок ещё какое-то время будет действовать сила трения покоя. В случае минимальной массы \(M\) груза возникает пограничная ситуация: на брусок действует максимально возможная сила трения, но ускорения доски и бруска ещё одинаковы. Сила трения, действующая на брусок, в этом случае направлена в ту же сторону, куда и ускорение системы «брусок – доска». Запишем второй закон Ньютона для бруска, доски и груза соответственно: \[4\mu mg - T = ma, \qquad 2T - 4\mu mg - 3\mu mg = 2ma, \qquad Mg - T = Ma,\] где \(T\) – сила реакции со стороны нити. Отсюда получаем: \[M = \frac{15\mu}{4-\mu}\,m .\]
Три бруска друг на друге
5/10Три одинаковых бруска кладут друг на друга, при этом нижний брусок лежит на горизонтальном столе. Масса каждого бруска равна 0,2 кг. Коэффициент трения между брусками и между бруском и столом равен 0,2. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
С какой максимальной горизонтальной силой \(F_1\) нужно действовать на нижний брусок, чтобы стопка из брусков двигалась по поверхности стола как единое целое, то есть проскальзывание между брусками отсутствовало? Ответ выразите в Н, округлите до десятых.
Перед верхним бруском поставили упор, как показано на рисунке. С какой минимальной силой \(F_2\) необходимо действовать на средний брусок, чтобы вытащить его из стопки? Ответ выразите в Н, округлите до десятых.
Нижний брусок можно вытащить из стопки резко ударив по нему. Так и сделали, сообщив ему начальную скорость \(v_0 = 3\) м/с, как показано на рисунке. В момент падения верхних брусков на стол нижний брусок имеет скорость 1 м/с. С какой скоростью движутся в этот момент два остальных бруска? Ответ выразите в м/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ п. 1 проскальзывание начинается, когда сила трения покоя между брусками достигает \(\mu N\). В п. 3 пока бруски скользят, действуйте законом сохранения импульса для системы из трёх брусков (трение со столом учтите).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(2{,}4\) Н; 2) \(1{,}2\) Н; 3) \(0{,}4\) м/с.
Брусок, доска и кубик
6/10На гладкой горизонтальной поверхности покоится прямоугольный брусок массой \(M = 1\) кг. На бруске лежит шероховатая доска массой \(m_1 = 400\) г, а на ней — кубик массой \(m_2 = 100\) г. Брусок и доска соединены натянутой невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок (см. рисунок). Блок невесомый и может вращаться без трения. Коэффициент трения между доской и бруском, так же как и между доской и кубиком, равен \(\mu = 0{,}2\). Если брусок потянуть с силой \(F_1 = 3{,}92\) Н, направленной горизонтально в сторону от блока, он будет двигаться с некоторым ускорением. Каков должен быть модуль силы \(F_2\), чтобы ускорение бруска было в три раза больше, чем в первом случае? Ускорение свободного падения считать равным \(g = 9{,}8\text{ м/с}^2\). Ответ выразите в мН и округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз-за нити доска движется в сторону, противоположную бруску; проверьте, при каком ускорении кубик начинает проскальзывать по доске, и выберите нужный режим.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(7644\) мН.
Доска и брусок под силой
3/10Минимальная сила, начинающая скольжение бруска по доске, задана; при большей силе по отношению ускорений определить отношение масс доски и бруска.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок на тележке
4/10Брусок кладут на передний край движущейся тележки; до выравнивания скоростей трение разгоняет брусок и тормозит тележку, длина тележки должна быть не меньше относительного пути (импульс и энергия или кинематика).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок на доске, сила на бруске
4/10На гладком столе доска массой 2m (или 4m) с бруском m; минимальная сила на бруске — когда ускорения равны и трение достигает μmg; затем время смещения бруска на L через относительное ускорение. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок на доске, сила на доске
4/10Сила приложена к доске (массы 3m и 5m, брусок m или 2m): минимальная сила — когда у доски и бруска общее ускорение при предельном трении; затем время проскальзывания на L через разность ускорений. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок на доске с грузом на нити
4/10Груз тянет через трубу брусок, лежащий на доске; сила трения разгоняет и доску, из уравнений Ньютона для трёх тел находятся ускорения бруска и доски и по относительному перемещению L — время соскальзывания.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два бруска на столе под действием силы
4/10Нижний и верхний бруски движутся с общим ускорением; второй закон Ньютона для каждого с трением о стол и между брусками даёт силу трения, действующую на верхний брусок (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
«Абсолютно упругий удар»
5/10Доска с кубиком упруго отскакивает от стенки и меняет скорость на противоположную, кубик скользит по доске с трением; из условия, что проскальзывание не больше L, найти максимальную скорость.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Скольжение груза по доске
5/10Груз на доске, связанный нитью через блок с подвешенным грузом; условие совместного движения и минимальное трение, затем время соскальзывания груза при вдвое меньшем трении (разные ускорения).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ускорение доски
5/10Брусок скользит по доске под постоянной силой по гладкому полу; тепло Q равно работе трения на относительном пути L, из этого и из динамики брусков найти ускорение доски.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Брусок на доске при силе F(t)
5/10Сила на доску или брусок растёт по линейному или синусоидальному закону; пока брусок не скользит, сила трения покоя сообщает ускорение, и скольжение начинается при равенстве μmg (варианты 2.1–2.4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два бруска на столе под действием силы
5/10Нижний и верхний бруски движутся с общим ускорением; второй закон Ньютона для каждого с трением о стол и между брусками даёт силу трения, действующую на верхний брусок (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Две доски въезжают на шероховатый участок
5/10Сила трения нижней доски растёт по мере въезда на шероховатую часть; найти скорость в момент, когда верхняя доска начинает скользить по нижней (энергия и условие проскальзывания).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Доска с бруском сжимает пружину
5/10Доска сжимает пружину, брусок сначала движется вместе с доской; сила трения покоя достигает максимума, и по энергии системы находится скорость в момент начала скольжения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Доска и брусок под нарастающей силой
5/10Сила F=kt нарастает, брусок начинает скользить при предельном трении; из закона относительного движения и неизвестного k находится выделившаяся теплота к моменту схода с доски.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Две доски на шероховатой полуплоскости
5/10При въезде на шероховатую часть сила трения нарастает пропорционально въехавшей длине; находится момент, когда верхняя доска начинает скользить по нижней.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Доска и брусок под нарастающей силой
6/10Сила растёт со временем: сначала сдвигается доска (максимум трения покоя о стол), затем вместе с бруском разгоняется, пока сила трения на брусок не достигнет предельной; время между двумя моментами (варианты 1–2: сила kt или kt²).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Доска с бруском и пружина
6/10Доска сжимает пружину, брусок движется с ней до достижения предельной силы трения; сжатие и время в момент срыва из гармонического движения, ускорение в точке максимального сжатия (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тело на доске с трением
6/10Доске 4m сообщают скорость v; тело m лежит на конце; через ускорения тела и доски и условие смещения на l найти минимальную скорость (энергия или относительное движение).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Движение без проскальзывания
7/10Доска с бруском, соединённым пружиной со стенкой, тянется грузом через блок; найти путь бруска до начала проскальзывания в зависимости от μ и время прохождения пути L (гармоническое движение).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тело на доске
7/10Тело и доска с одинаковыми скоростями, трение между ними μ и с полом 2μ; найти перемещение тела относительно доски (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Доска и кубик
4/10На конце достаточно длинной доски массой \(2m\), лежащей на гладкой горизонтальной поверхности, располагается небольшой кубик массой \(m\). Кубику сообщается скорость, направленная вдоль доски (см. рисунок). Вследствие трения скорость кубика относительно доски в процессе движения уменьшается и к моменту, когда кубик достигает конца доски, становится в 4 раза меньше, чем в начале движения.
Ответы на вопросы задачи дайте в виде десятичных дробей, округлите до десятых.
(2 балла) Какая часть начальной кинетической энергии кубика в лабораторной системе отсчёта выделится в виде тепла в процессе его движения по доске?
(3 балла) Если длина доски равна 1 м, а начальная скорость кубика равна 4 м/c, то чему равен коэффициент трения кубика о поверхность доски? Ускорение свободного падения равно 10 м/c\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗакон сохранения импульса даёт скорость доски в конце движения. Выделившееся тепло равно убыли кинетической энергии системы, а оно же равно работе силы трения на пути кубика относительно доски.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответa) 0,6; b) 0,5.
Бумага между брусками
5/10На гладком столе лежат два тела массой \(m\) каждое, между которыми находится лёгкий лист бумаги. Коэффициент трения между верхним бруском и листом равен \(\mu\), между нижним бруском и листом \(3\mu\). С какими ускорениями начнут двигаться тела, если к нижнему приложить горизонтальную силу \(F\)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛист лёгкий, поэтому сумма приложенных к нему сил равна нулю: силы трения сверху и снизу равны по модулю. Выясните, по какой из двух поверхностей лист начнёт проскальзывать первым.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветПри \(F \le 2\mu mg\): \(a_{\text{в}} = a_{\text{н}} = \dfrac{F}{2m}\); при \(F \ge 2\mu mg\): \(a_{\text{н}} = \dfrac{F}{m} - \mu g\), \(a_{\text{в}} = \mu g\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеТак как лист лёгкий, то сумма всех сил, приложенных к нему, равна нулю. Поскольку коэффициент трения снизу больше коэффициента трения сверху, то лист бумаги начнёт двигаться так же, как и нижний брусок. Возможны два случая:
\(F \le 2\mu mg\), тогда \(a_{\text{в}} = a_{\text{н}} = \dfrac{F}{2m}\).
\(F \ge 2\mu mg\), тогда \(a_{\text{н}} = \dfrac{F}{m} - \mu g\); \(a_{\text{в}} = \mu g\).
И покой, и скольжение
6/10Изучая силу трения в рамках школьного курса физики, обычно говорят о том, что максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения. На самом деле, для того, чтобы вывести тело из состояния покоя, необходимо приложить силу несколько большую силы трения скольжения. Поэтому имеет смысл говорить о двух коэффициентах: коэффициенте трения покоя \(\mu_r\) и коэффициенте трения скольжения \(\mu_s\) (\(\mu_s < \mu_r\)). Сила трения покоя удовлетворяет соотношению \(F_{\text{тр.пок.}} \leqslant \mu_r N\). После перехода к скольжению для определения силы трения используется другой коэффициент \(F_{\text{тр.ск.}} = \mu_s N\).
А. (4 балла) Для деревянного бруска массой \(m\), располагающегося на протяжённой деревянной горизонтальной поверхности, коэффициенты трения покоя и скольжения равны \(\mu_r = 0{,}5\) и \(\mu_s = 0{,}4\) соответственно. На брусок начинает действовать периодически изменяющаяся горизонтальная сила, проекция которой на горизонтальную ось \(OX\) на первой половине периода равна \(F_x^{(1)} = 1{,}001\mu_r mg\), а на второй половине периода меняет знак и становится равна \(F_x^{(2)} = -1{,}001\mu_r mg\). Изобразите графически зависимость скорости бруска от времени в течение двух периодов спустя большое время после начала процесса. Период изменения силы равен \(T = 4\text{ с}\), ускорение свободного падения равно \(10\text{ м/с}^2\).
Б. (5 баллов) Две доски одинаковой массы \(m\) лежат друг на друге и на длинном горизонтальном деревянном столе (см. рисунок). Коэффициенты трения покоя и скольжения между всеми поверхностями равны \(\mu_r = 0{,}5\) и \(\mu_s = 0{,}4\).
Б1) (2 балла) На верхнюю доску действует внешняя горизонтальная сила \(F(t)\), прямо пропорциональная времени \(F(t) = \dfrac{\mu_r mg t}{t_0}\). Изобразите график зависимости ускорения верхней доски от времени для \(t \in [0, 4t_0]\).
Б2) (3 балла) Пусть теперь внешняя горизонтальная сила \(F(t) = \dfrac{\mu_r mg t}{t_0}\) действует на нижнюю доску. Изобразите график зависимости ускорения нижней доски от времени для \(t \in [0, 4t_0]\).
В обоих случаях доски изначально покоятся. В процессе движения одна доска не падает с другой.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока сила чуть превышает максимум трения покоя, брусок сначала «срывается» с места, а как только сила меняет знак, начинает тормозиться почти вдвое сильнее. Для досок выясните по порядку: когда начнёт двигаться каждая доска и когда начнётся проскальзывание между ними.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветА) график скорости "— пилообразный периодический, максимальное значение \(u = 1{,}8\text{ м/с}\); Б1) \(a = 0\) при \(t < t_0\), далее \(a(t) = \dfrac{\mu_r g t}{t_0} - \mu_s g\), до \(16\text{ м/с}^2\) при \(t = 4t_0\); Б2) \(a = 0\) при \(t < 2t_0\), затем \(a(t) = \dfrac{\mu_r g t}{2t_0} - \mu_s g\) (от \(1\) до \(5\text{ м/с}^2\) при \(t = 3{,}6t_0\)), затем \(a(t) = \dfrac{\mu_r g t}{t_0} - 3\mu_s g\) (от \(6\) до \(8\text{ м/с}^2\) при \(t = 4t_0\)).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеА. Анализ показывает, что в каждый момент времени брусок двигается с ускорением, которое по абсолютной величине может быть равно \(a_1 \approx (\mu_r - \mu_s)\,g = 1\text{ м/с}^2\) или \(a_2 \approx (\mu_r + \mu_s)\,g = 9\text{ м/с}^2\). Спустя длительное время после начала процесса установится квазистационарный режим, и проекция скорости бруска в зависимости от времени будет меняться периодически. В течение периода за время \(\tau = \dfrac{T}{20}\) модуль скорости бруска уменьшается от значения \(u\) до нуля, а затем за время \(9\tau\) увеличивается от нуля до \(u\) (см. рисунок ниже, \(\tau = 0{,}2\text{ с}\)). Значение максимальной скорости в квазистационарном режиме равно \(u = 1{,}8\text{ м/с}\).
Можно дать доказательство того факта, что спустя длительное время после начала процесса устанавливается квазистационарный режим. Действительно, обозначим \(v_k\) "— значение модуля скорости бруска спустя время \(\dfrac{kT}{2}\) после начала процесса. Справедливо рекуррентное соотношение \[v_{k+1} = 2\text{ м/с} - \frac{v_k}{9}, \tag{1}\] при этом \(v_1 = 2\text{ м/с}\). Введём обозначение \(w_k = v_k - u\), где \(u = 1{,}8\text{ м/с}\). Из формулы (4) следует соотношение \[w_{k+1} = -\frac{w_k}{9},\] а из него формула для \((k+1)\)-го члена последовательности \[w_{k+1} = 0{,}2\cdot\frac{(-1)^k}{9^k},\] которая является убывающей геометрической прогрессией. Легко видеть, что предел последовательности \(\{w_k\}\) при \(k \to \infty\) равен нулю. Это означает, что при больших \(k\) значение \(v_k\) стремится к \(u\).
Б. Б1) Сразу заметим, что нижняя доска при любом значении внешней силы будет оставаться в покое, поскольку максимальное значение силы трения покоя, действующей на неё со стороны стола, равно \(2\mu_r mg\), а максимальная сила, действующая на нижнюю доску со стороны верхней равна \(\mu_r mg\). Таким образом, при значении внешней силы меньше \(\mu_r mg\) ускорение верхней доски равно нулю, а при значении больше \(\mu_r mg\) равно \[a(t) = \frac{\mu_r g t}{t_0} - \mu_s g. \tag{2}\] Искомый график изображён на рисунке, представленном ниже.
Б2) В этом случае движение начнётся, когда внешняя сила станет больше значения \(2\mu_r mg = mg\), это произойдёт в момент времени \(t_1 = 2t_0\), далее верхняя доска будет двигаться совместно с нижней с ускорением, даваемым формулой \(a(t) = \dfrac{\mu_r g t}{2t_0} - \mu_s g\), похожей на формулу (5). Позднее в некоторый момент времени начнётся проскальзывание верхней доски по нижней. Значение внешней силы в этот момент будет удовлетворять соотношению \[\frac{F - 2\mu_s mg}{2m}\cdot m = \mu_r mg. \tag{3}\] Решив уравнение (6), находим критическое значение силы \(F = 2\,(\mu_s + \mu_r)\,mg = 1{,}8\,mg\). Этого значения сила достигает в момент времени \(t = 3{,}6t_0\). Далее нижняя доска будет двигаться с ускорением, большим ускорения верхней доски. Зависимость ускорения нижней доски от времени в этом случае будет задаваться формулой \[a(t) = \frac{\mu_r g t}{t_0} - 3\mu_s g. \tag{4}\] Искомый график можно видеть на рисунке, представленном ниже.
Трение и нейросеть
7/10На шероховатой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту \(\alpha\) (\(\operatorname{tg}\alpha = 1/2\)) удерживается массивная треугольная призма массой \(m = 1\) кг, имеющая в сечении прямоугольный треугольник с острым углом \(\alpha\). Призма лежит на плоскости на боковой грани так, что другая её боковая грань (обращённая вверх) горизонтальна. На этой грани лежит лист бумаги, а на листе бумаги "— брусок массой \(m\). Брусок при помощи нитки (невесомой и нерастяжимой) соединён с очень лёгким кольцом, надетым на гладкий вертикальный закреплённый стержень (см. рис. 2). Нить не натянута, но и не провисает, так что движение бруска по горизонтали (в случае освобождения системы) в течение некоторого времени исключено.
Коэффициенты трения призмы о бумагу и бруска о бумагу одинаковы и равны \(\mu_1\). Коэффициент трения призмы о наклонную плоскость равен \(\mu_2\). Предполагается, что \(0 \leqslant \mu_1 \leqslant 1\) и \(0 \leqslant \mu_2 \leqslant 1\). Систему освобождают.
При каких \(\mu_1\) и \(\mu_2\) клин начнёт двигаться? Изобразите на плоскости \((\mu_1, \mu_2)\) область, соответствующую найденным значениям.
Ниже приведено решение первого пункта задачи, предложенное известной нейросетью. Верно ли оно? Если да, его можно использовать; если нет, укажите допущенные ошибки.
Брусок удерживается нитью и не имеет горизонтального ускорения. Следовательно, сила трения между бруском и бумагой уравновешивает горизонтальную реакцию со стороны призмы. Максимальная сила трения между бруском и бумагой равна \[F_{1,\max} = \mu_1 m g.\] Эта же по модулю сила действует на призму со стороны бумаги (в противоположную сторону) и направлена горизонтально. На призму действуют: её вес \(mg\), вес бруска \(mg\), нормальная реакция плоскости \(N_2\) и сила трения о плоскость \(F_2\).
Полная нормальная реакция наклонной плоскости \[N_2 = 2mg\cos\alpha.\] Максимальная сила трения призмы о плоскость \[F_{2,\max} = 2\mu_2 m g\cos\alpha.\] Составляющая сил, стремящаяся сдвинуть призму вниз по наклонной плоскости: \(2mg\sin\alpha\). Горизонтальная сила трения со стороны бумаги даёт проекцию на наклонную плоскость: \(F_{1,\parallel} = F_1\cos\alpha\). В предельном случае \(F_1 = \mu_1 m g\), поэтому \[F_{1,\parallel} = \mu_1 m g\cos\alpha.\] Условие начала скольжения призмы: \[2mg\sin\alpha - \mu_1 m g\cos\alpha > 2\mu_2 m g\cos\alpha.\] Сокращая на \(mg\cos\alpha\), получаем \[2\operatorname{tg}\alpha - \mu_1 > 2\mu_2.\] При \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac12\) окончательно \[1 - \mu_1 > 2\mu_2, \qquad \mu_2 < \frac{1-\mu_1}{2}.\] Таким образом, призма начнёт выскальзывать при \[\mu_2 < \frac{1-\mu_1}{2}, \qquad 0 \leqslant \mu_1 \leqslant 1,\ 0 \leqslant \mu_2 \leqslant 1.\] На плоскости \((\mu_1, \mu_2)\) это область ниже прямой \(\mu_2 = \dfrac{1-\mu_1}{2}\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛист бумаги невесом, поэтому силы трения на его сторонах равны. Составьте уравнения второго закона Ньютона для бруска и для призмы с учётом того, что призма при начале движения ускоряется: чему тогда равна нормальная реакция наклонной плоскости?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) клин начнёт двигаться при \(\mu_2 \leqslant \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha - \mu_1}{2 + \mu_1\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{2(1-\mu_1)}{4+\mu_1}\); 2) решение нейросети неверно: использована статическая реакция \(N_2 = 2mg\cos\alpha\), тогда как для движущейся системы нормальная реакция плоскости другая (динамическая).
Шайба на доске после удара
4/10Шайба скользит по доске на гладком столе: закон сохранения импульса и потеря энергии на работе трения на относительном пути L дают минимальную начальную скорость для соскальзывания (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Доска сталкивается с бруском, на котором лежит другой
6/10Абсолютно неупругий удар доски о нижний брусок, затем скольжение другого бруска по доске: трение между брусками и доской определяет относительное перемещение до выравнивания скоростей.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тело на столе с блоком и грузами
7/10Большое тело неподвижно при достаточном μ1 (верхний груз не скользит) либо когда сила нити за вычетом трения от верхнего груза не превышает предельного трения о стол; из динамики грузов находят натяжение и условия на μ1, μ2.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.