Переправа

Разбейте движение на этапы: разгон ящика, совместное скольжение по салазкам до выравнивания скоростей, торможение салазок, соскальзывание ящика и торможение на берегу; на каждом этапе ускорения заданы силами трения.

Ящик разгоняется до 6 м/с за 2 с, затем ящик и салазки выравнивают скорости (\(\approx3{,}85\) м/с); далее торможение салазок (\(0{,}20\) м/с\(^2\)), столкновение с берегом при \(\approx2{,}1\) м/с, соскальзывание ящика (\(\approx1{,}07\) м/с) и остановка на берегу; полный путь \(33{,}6\) м за \(12{,}9\) с (по официальному решению).

Будем рассматривать движение по этапам. Все кинематические характеристики, относящиеся к ящику, будем нумеровать индексом 0, а, относящиеся к салазкам – индексом 1, координатами салазок будем считать координату их задней части.

1. Разгон ящика описывается хорошо известными уравнениями:

\[\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle v _ { 0 } = a _ { 0 } t } \\ { \displaystyle x _ { 0 } = \frac { a _ { 0 } t ^ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right. .\tag{1}\]

Этот разгон закончится в момент времени \(t _ { 1 } = \sqrt { \frac { 2 l _ { 0 } } { a _ { 0 } } } \approx 2 { , } 0 0 c\) , ящик будет иметь скорость \(v _ { 0 1 } = \sqrt { 2 a _ { 0 } l _ { 0 } } \approx 6 { , } 0 0 \frac { \text{м} } { \text{с} }\) .

2. Разгон салазок. После того, как ящик окажется на салазках, начнется их разгон под действием силы трения со стороны ящика. Рассмотрев действующие силы трения между ящиком и салазками \(F _ { 0 } = F _ { 0 } ^ { \prime } = \mu _ { 0 } m _ { 0 } g\) ;

между салазками и льдом \(F _ { 1 } = \mu _ { 1 } ( m _ { 0 } + m _ { 1 } ) g\) ,

определим ускорения салазок и ящика

\[a _ { 0 1 } = - \mu _ { 0 } g \approx - 3 { , } 0 \frac { \text{м} } { \text{с} ^ { 2 } } , \qquad a _ { 1 1 } = \frac { \mu _ { 0 } m _ { 0 } - \mu _ { 1 } ( m _ { 0 } + m _ { 1 } ) } { m _ { 1 } } g \approx 5 { , } 4 \frac { \text{м} } { \text{с} ^ { 2 } } \, .\]

Зависимости скоростей и координат движущихся тел определяются уравнениями (для сокращения записей сместим начало отсчета времени)

\[\left\{ \begin{array} { l l } { v _ { 0 } = v _ { 0 1 } + a _ { 0 1 } t } \\ { v _ { 1 } = a _ { 1 1 } t } \end{array} \right. , \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x _ { 0 } = l _ { 0 } + v _ { 0 1 } t + \frac { a _ { 0 1 } t ^ { 2 } } { 2 } } \\ { \displaystyle x _ { 1 } = l _ { 0 } + \frac { a _ { 1 1 } t ^ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right. .\tag{2}\]

Далее следует заметить, что такое движение будет происходить пока скорости салазок и ящика не сравняются, Это произойдет через время \(t _ { 2 } = \frac { v _ { 0 1 } } { a _ { 1 1 } + \vert a _ { 0 1 } \vert } \approx 0 { , } 7 1 4 c\) .

До этого момента времени доска сместится на \(\Delta x_{11} \approx 1{,}38 \text{м}\), а ящик на \(\Delta x_{01} \approx 3{,}52 \text{м}\). Так как \(\Delta x_{01} - \Delta x_{11} < L\) (до конца салазок остается \(\Delta L = L - (\Delta x_{01} - \Delta x_{11}) \approx 0{,}86 \text{м}\)), то ящик останется на салазках. В момент прекращения относительного движения ящика по салазкам их скорость будет равна \(v_{02} \approx 3{,}85 \frac{\text{м}}{\text{с}}\).

3. Торможение. Далее салазки с неподвижным ящиком будут двигаться вместе с ускорением \(a_2 = -\mu_1 g \approx -0{,}20 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\). До полной остановки салазки могут пройти по льду путь \(S = \frac{v_{02}^2}{2\vert a_2\vert } \approx 37{,}25 \text{м}\), что больше оставшегося расстояния до противоположного берега. На этом участке скорости и координаты будут изменяться по законам

\[\begin{cases} v_0 = v_{02} + a_2 t \\ v_1 = v_{02} + a_2 t \end{cases}, \quad \begin{cases} x_0 = l_0 + \Delta x_{01} + v_{02} t + \frac{a_2 t^2}{2} \\ x_1 = l_0 + \Delta x_{11} + v_{02} t + \frac{a_2 t^2}{2} \end{cases}.\tag{3}\]

До противоположного берега салазкам остается пройти расстояние \(l = l_1 - L - \Delta x_{11} \approx 25{,}6 \text{м}\). Салазки подъедут к берегу со скоростью, которую можно рассчитать по формуле \(v_{03} = \sqrt{v_{02}^2 - 2\vert a_2\vert l} \approx 2{,}14 \frac{\text{м}}{\text{с}}\). Это произойдет через время

\[\Delta t_3 = \frac{v_{03} - v_{02}}{a_2} \approx 8{,}55 \text{с}\]

4. Торможение по салазкам. После того, как салазки «упрутся» в берег, ящик начнет скользить по салазкам с ускорением \(a_{03} = -\mu_0 g \approx -2{,}0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\). По салазкам они могут пройти путь \(S = \frac{v_{03}^2}{2\vert a_{03}\vert } \approx 1{,}15 \text{м}\), что больше, чем расстояние \(\Delta L\) до конца салазок, поэтому ящик соскользнет с них. Скорость ящика в момент выезда на берег \(v_{04} = \sqrt{v_{03}^2 - 2\vert a_{03}\vert \Delta L} \approx 1{,}07 \frac{\text{м}}{\text{с}}\), что произойдет через время \(\Delta t_4 = \frac{v_{04} - v_{03}}{a_{03}} \approx 0{,}54 \text{с}\). Законы изменения скорости и координаты ящика на этом этапе имеет вид

\[\begin{aligned} v_0 &= v_{04} + a_{03} t \\ x_0 &= l_0 + l_1 - \Delta L + v_{03} t + \frac{a_{03} t^2}{2} \end{aligned}.\tag{4}\]

5. Торможение по берегу. Ящик на берегу тормозит с ускорением \(a_{04} = -\mu_2 g \approx -1{,}0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\). При этом он пройдет путь \(S = \frac{v_{04}^2}{2\vert a_{04}\vert } \approx 0{,}57 \text{м}\) до остановки за время \(\Delta t_5 = -\frac{v_{04}}{a_{04}} \approx 1{,}1 \text{с}\). Законы изменения скорости и координаты ящика на том этапе имеет вид

\[\begin{aligned} v_0 &= v_{04} + a_{04} t \\ x_0 &= l_0 + l_1 + v_{04} t + \frac{a_{04} t^2}{2} \end{aligned}.\tag{5}\]

Графики зависимостей скоростей от времени показаны на рисунке.

2. Полный путь до остановки составит \(33{,}6\) м за время \(12{,}9\) с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.