Проницаемость

Закон Дарси связывает поток с перепадом давления; в равномерном движении сила сопротивления песка уравновешивает силу тяжести воды. Для впитывания используйте квазистационарное приближение и сохранение количества воды.

1) \([\beta]=\text{с}\);  2) \(v=\beta g\);  3) \(h=h_0-\sqrt{2h_0\beta g\eta t}\), \(T=\dfrac{h_0}{2\beta\eta g}\);  4) \(T=\dfrac{h_0}{2\beta\eta g}+\dfrac{h_1}{\beta g}\) (по официальному решению).

1. Из формулы закона Дарси следует, что размерность проницаемости – секунда.

Пусть слой воды толщиной \(h\) движется горизонтально через песок под действием разности давлений \(\Delta P\). Так как вода движется равномерно, то сумма внешних сил, действующих на воду равна нулю. Следовательно, сила сопротивления действующая на воду со стороны песка, равна \(f_c = \Delta P S\), где \(S\) площадь произвольно выделенной части движущегося слоя. Эту силу можно также выразить из приведенного закона Дарси \(\Delta P S = \frac{h S}{\beta} q\). Наконец, поток жидкости можно выразить через ее скорость \(v\): \(q = \eta \rho v\). Итак, сила сопротивления, действующая на выделенную часть слоя, определяется формулой

\[f_c = \frac{\eta \rho}{\beta} S h v.\tag{1}\]

2. При вертикальном движении слоя жидкости в пористой среде сила тяжести уравновешивается силой сопротивления, поэтому

\[\eta \rho S h g = \frac{\eta \rho S h}{\beta} v.\tag{2}\]

Откуда следует, что скорость равномерного движения слоя воды равна

\[v = \beta g.\tag{3}\]

3. Не смотря на то, что скорость движения воды будет изменяться, будем считать, что эти изменения малы. Поэтому в любой момент времени сумма сил, действующих на воду, будет равна нулю (используем традиционное квазистационарное приближение). Обозначим высоту слоя не впитавшейся воды \(h\), а толщину намокшего песка \(x\). Учитывая, что сила тяжести, действующая на всю воду, уравновешивается силой сопротивления, действующей только на слой воды, находящейся в песке, запишем выражения для равенства этих сил

\[\rho S h_0 g = \frac{\eta \rho S x}{\beta} v.\tag{4}\]

Так как \(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\), то из уравнения (4) следует

\[x = \sqrt { \frac { 2 h _ { 0 } \beta g t } { \eta } } \, .\tag{5}\]

Запишем условие сохранения количества воды

\[\rho h + \eta \rho x = \rho h _ { 0 } \, ,\tag{6}\]

которое позволяет найти искомую зависимость толщины слоя не впитавшейся воды от времени

\[h = h _ { 0 } - \sqrt { 2 h _ { 0 } \beta g \eta t } \ .\tag{7}\]

Полагая \(h = 0\) , найдем время впитывания

\[T = \frac { h _ { 0 } } { 2 \beta \eta g } \, ,\tag{8}\]

4. Так как скорость движения жидкости внутри песка не зависит от его толщины, то после полного впитывания верхняя граница «мокрого» слоя будет постоянна и определяться формулой (3). Следовательно, вся вода пройдет через слой песка за время

\[T = \frac { h _ { 0 } } { 2 \beta \eta g } + \frac { h _ { 1 } } { \beta g } \, .\tag{9}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.