Колебания стержня

При малом смещении стержня нескомпенсированной остаётся сила притяжения небольшого участка длиной \(2x\) к кольцу; сила пропорциональна смещению, поэтому колебания гармонические.

\(T=\dfrac{4\pi R}{q}\sqrt{2\sqrt2\,\pi\varepsilon_0 mR}\).

Поскольку кольцо и стержень имеют заряды противоположных знаков, то в положении равновесия стержень расположится симметрично относительно центра кольца. Рассмотрим малое смещение \(x\) (\(x \ll R\)) стержня из положения равновесия например вверх (рис. 2). Поскольку при этом над кольцом окажется большая часть стержня, то результирующая сила со стороны кольца будет стремиться вернуть стержень в положение равновесия.

Для расчета этой силы заметим, что в данном случае «нескомпенсированной» остается только сила притяжения к кольцу малого участка стержня длиной \(2x\) (незаштрихованная на рис.), имеющая заряд

\[\Delta q = \lambda 2x = \frac{q}{l} 2x = \frac{q}{R} x.\tag{1}\]

Поскольку напряженность электростатического поля на оси кольца на расстоянии \(h\) от его центра вычисляется по формуле

\[E(h) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{h}{(h^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}},\tag{2}\]

то для нашего случая (\(h = R\)) получаем

\[E(R) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{R}{(2R^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{q}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 R^2}.\tag{3}\]

Таким образом, уравнение движения (второй закон Ньютона) для стержня примет вид

\[ma = m x''(t) = -\Delta q \cdot E(R) = -\frac{q}{R} \cdot \frac{q}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 R^2} \cdot x = -\frac{q^2}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 R^3} \cdot x.\tag{4}\]

Уравнение (4) можно переписать в виде стандартного уравнения гармонических колебаний

\[x''(t) + \omega_0^2\, x(t) = 0, \quad \text{где } \omega_0 = \sqrt{\frac{q^2}{8\sqrt{2}\,\pi\varepsilon_0 m R^3}}.\tag{5}\]

Соответственно период данных колебаний

\[T = \frac { 2 \, \pi } { \omega _ { 0 } } = \frac { 4 \, \pi \, R } { q } \sqrt { 2 \sqrt { 2 } \pi \, \varepsilon _ { 0 } m R } \; .\tag{6}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.