Вращающиеся цилиндры

Вращающийся заряженный цилиндр эквивалентен соленоиду с линейной плотностью тока \(\sigma\omega R\). При расчёте давления помните, что на элемент поверхности не действует поле, созданное им самим (эффективное поле вдвое меньше).

1) \(B=\mu_0(\sigma_1\omega_1R_1+\sigma_2\omega_2R_2)\) при \(r<R_1\); \(B=\mu_0\sigma_2\omega_2R_2\) при \(R_1<r<R_2\); \(B=0\) при \(r>R_2\) (при вращении в разные стороны — со знаком «минус»);  2) \(p_2=\dfrac{\mu_0\sigma_2^2\omega_2^2R_2^2}{2}\),  \(p_1=\mu_0\sigma_1\omega_1R_1\left(\dfrac{\sigma_1\omega_1R_1}{2}+\sigma_2\omega_2R_2\right)\).

а) Рассмотрим процесс возникновения магнитного поля при вращении цилиндров.

Индукция \(B\) однородного магнитного поля внутри достаточно длинного соленоида с однослойной плотностью намотки \(n = \frac { N } { l }\) и силой тока \(I\) может быть найдена по формуле

\[B = \mu _ { 0 } i = \{ i = \frac { I _ { \Sigma } } { l } = \frac { I N } { l } = I n \} = \mu _ { 0 } I n \; .\tag{1}\]

Подчеркнем, что вне бесконечного соленоида поля нет. В реальном случае магнитное поле выходит через торцы соленоида (область т.н. «краевых эффектов»), следовательно, оно отлично от нуля и вне соленоида. Поскольку цилиндры, согласно условию, достаточно длинные, то указанными эффектами пренебрежем.

В рассматриваемом случае ток, в буквальном смысле слова, через цилиндры не течет, однако его заменяет направленное движение статических зарядов на поверхностях цилиндров при вращении. За один оборот весь заряд \(q = \sigma 2 \pi R l\) цилиндра пройдет через некоторое фиксированное поперечное сечение его боковой поверхности длиной \(l\). Следовательно, сила тока, «протекающего» по поверхности цилиндра радиуса \(R\) при его вращении с угловой скоростью \(\omega\)

\[I = \frac { q } { t } = \frac { \sigma 2 \pi R l } { 2 \pi / \omega } = \sigma \omega R l \; .\tag{2}\]

Соответственно для линейной плотности тока в этом случае получаем выражение

\[i = \frac { I } { l } = \sigma \omega R \; .\tag{3}\]

С помощью (1) - (3) и найдем индукцию \(B\) однородного магнитного поля внутри достаточно длинного вращающегося цилиндра

\[B = \mu _ { 0 } \sigma \omega R \; .\tag{4}\]

Направление вектора \(\vec { B }\) магнитной индукции внутри цилиндра можно найти при помощи правила буравчика. При этом следует направление тока заменить направлением вращения цилиндра (при положительной плотности поверхностного заряда \(\sigma\)).

Таким образом, при вращении цилиндров в одном направлении, искомая зависимость имеет вид

\[B(r) = \begin{cases} \mu_0(\sigma_1\omega_1R_1+\sigma_2\omega_2R_2) & \text{при } r<R_1,\\ \mu_0\sigma_2\omega_2R_2 & \text{при } R_1<r<R_2,\\ 0 & \text{при } r>R_2. \end{cases}\tag{5}\]

При вращении цилиндров в различных направлениях в представленной зависимости, в соответствие с правилом буравчика следует взять знак «-».

б) Для вычисления давления, создаваемого магнитным полем вращающегося цилиндра на его же боковую поверхность цилиндра следует учесть, что на выделенный элемент с током \(\Delta S _ { i }\) боковой поверхности цилиндра не может действовать магнитное поле,

создаваемое им самим. Из принципа суперпозиции магнитных полей следует (покажите это самостоятельно), что корректный учет этого замечания приводит к уменьшению индукции «действующего» поля самого цилиндра ровно в два раза. Таким образом, при вычислении давления следует заменить стандартное значение индукции поля рассматриваемого \(i\)-го цилиндра (1) на новое «эффективное» значение

\[B_i^* = \frac{\mu_0 \sigma_i \omega_i R_i}{2}.\tag{6}\]

Для уединенного цилиндра сила Ампера, действующая на рассматриваемый элемент \(\Delta S_i = \Delta l_i \times \Delta l_j\) перпендикулярно его поверхности

\[F_A = I_\Sigma B^* \Delta l_i = \{I_\Sigma = i \Delta l_j = \sigma \omega R \Delta l_j\} = \sigma \omega R \Delta l_j B^* \Delta l_i = \mu_0 \frac{\sigma^2 \omega^2 R^2 \Delta l_j \Delta l_i}{2},\tag{7}\]

создает давление

\[p = \frac{F_A}{\Delta S_i} = \mu_0 \frac{\sigma^2 \omega^2 R^2}{2}.\tag{8}\]

В нашем случае внешний цилиндр радиуса \(R_2\) будет испытывать давление только со стороны «внутреннего» поля

\[p_2 = \mu_0 \frac{\sigma_2^2 \omega_2^2 R_2^2}{2}.\tag{9}\]

Внутренний цилиндр радиуса \(R_1\), соответственно, будет находиться под давлением

\[p_1 = \mu_0 \sigma_1 \omega_1 R_1 \left( \frac{\sigma_1 \omega_1 R_1}{2} + \sigma_2 \omega_2 R_2 \right).\tag{10}\]

Подчеркнем, что в случае вращения цилиндров в различных направлениях в выражениях (9) – (10) следует использовать знак «-».

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.