Федя – путешественник

Подсказка

Шарик каждый раз догоняет Федю, а потом возвращается домой за то же время, поэтому моменты возвращения образуют геометрическую прогрессию. Для встреч приравняйте координаты Феди \(vt\) и Шарика \(u(t-\tau_{k-1})\). Постройте законы движения на одном графике.

Ответ

1.1) \(v=50\) м/мин; 1.2) \(T=100\) мин; 1.3) \(x_0(t)=vt\) при \(t\le T\), \(x_0=S\) при \(t\ge T\); 1.4) \(\tau_k=\tau_0\Bigl(\dfrac{u+v}{u-v}\Bigr)^k=\tau_0\cdot2^k\) (10, 20, 40, 80 мин); 1.5) \(t_k=\dfrac{u}{u-v}\tau_{k-1}\), \(x_k=vt_k\) (при \(k=1\ldots4\): \(t_k=7{,}5;\,15;\,30;\,60\) мин, \(x_k=375;\,750;\,1500;\,3000\) м); последняя (пятая) встреча у цели: \(x=5000\) м, \(t\approx113\) мин, домой Шарик вернётся в \(\approx147\) мин; 1.6) \(L=u\tau_5\approx22\) км; 2.1) \(\Delta\tau_1=10\) мин; 2.2) \(\langle u\rangle=350\) м/мин, домой в \(\approx51\) мин; 2.3) \(\Delta t_2=13\) мин; 2.5) \(\Delta L=1{,}5\) км.

Решение

1.1 Пересчет скорости проводится традиционно

\[v = \frac{3{,}0 \text{ км}}{1{,}0 \text{ час}} = \frac{3000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 50 \frac{\text{ м}}{\text{ мин}}\tag{1}\]

1.2 Время движения Феди

\[T = \frac{S}{v} = \frac{5000 \text{ м}}{50 \frac{\text{ м}}{\text{ мин}}} = 1{,}0 \cdot 10^{2} \text{ мин}.\tag{2}\]

1.3 Сначала (в течении промежутка времени \(T\)) Федя движется равномерно, а затем остается в покое, поэтому

\[x_{0}(t) = \begin{cases} vt, & \text{при } t \le T \\ S, & \text{при } t \ge T \end{cases}.\tag{3}\]

График закона движения показан на рис. 2.

1.4-1.5 Изобразим схематически законы движения Феди и Шарика (рис. 1). Пусть Шарик в очередной раз вернулся домой в момент времени \(\tau_{k-1}\). Следующая встреча с Федей произойдет в момент времени \(t_{k}\), в точке с координатой

\[x_{k} = v t_{k}.\tag{4}\]

Эту же координату можно выразить из закона движения Шарика на этом участке

\[x_{k} = u(t_{k} - \tau_{k-1}).\tag{5}\]

Приравнивая эти выражения, получим

\[u(t_{k} - \tau_{k-1}) = v t_{k} \quad \Rightarrow \quad t_{k} = \frac{u}{u-v} \tau_{k-1},\tag{6}\]

Очевидно, что назад Шарик будет бежать столько же времени, как и до встречи, поэтому

\[\tau_{k} - t_{k} = t_{k} - \tau_{k-1}.\]

Из последних соотношений находим

\[\tau_{k} = 2t_{k} - \tau_{k-1} = 2 \frac{u}{u-v} \tau_{k-1} - \tau_{k-1} = \frac{u+v}{u-v} \tau_{k-1}.\tag{7}\]

Полученное соотношение показывает, что времена возвращения Шарика домой образуют геометрическую прогрессию, которую в явном виде можно записать (с учетом \(u=3v\))

\[\tau_{k} = \frac{u+v}{u-v} \tau_{k-1} \quad \Rightarrow \quad \tau_{k} = \tau_{0} \left( \frac{u+v}{u-v} \right)^{k} = \tau_{0} \cdot 2^{k}\tag{8}\]

Из формулы (6) выразим моменты встреч Шарика с Федей

\[t_{k} = \frac{u}{u-v} \tau_{k-1} = \frac{u}{u-v} \left( \frac{u+v}{u-v} \right)^{k-1} \tau_{0} = \tau_{0} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2^{k-1}\tag{9}\]

и координаты мест встречи

\[x_{k} = v t_{k} = \frac{u}{u-v} \left( \frac{u+v}{u-v} \right)^{k-1} v \tau_{0} = v \tau_{0} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2^{k-1}.\tag{10}\]

По полученным формулам легко рассчитать численные значения времен и координат (см. Таблицу 1)

Таблица 1. Планируемый график движения Шарика.

Расчет показывает, что к четвертой ожидаемой встрече Федя уже дойдет до своей цели. Поэтому Шарик в четвертый раз встретит Федю в точке \(x_4 = 5000 \text{м}\), в момент времени

\[t_5 = \tau_4 + \frac{S}{u} = 80 + \frac{5000}{150} = 113 \text{мин}.\tag{11}\]

Последний раз Шарик должен вернуться домой в момент времени

\[\tau_5 = \tau_4 + 2\frac{S}{u} = 80 + 2\frac{5000}{150} = 147 \text{мин}\tag{12}\]

1.6 Так как Шарик должен двигаться с постоянной по модулю скоростью, то путь, который он должен пробежать равен

\[L = u\tau_5 = 150 \cdot 147 = 22000 \text{м} = 22 \text{км}\tag{13}\]

1.7 График закона движения Шарика также показан на рис. 2.

2.1 Если Шарик отдыхал в течении промежутка \(\Delta\tau_1\) и опоздал на время \(\Delta t_1\), то она бежал в течении промежутка времени \(\left((t_3 + \Delta t_1) - (\tau_2 + \Delta\tau_1)\right)\) и догнал Федю в точке \(x = v(t_3 + \Delta t_1)\), поэтому должно выполняться соотношение

\[u\left((t_3 + \Delta t_1) - (\tau_2 + \Delta\tau_1)\right) = v(t_3 + \Delta t_1),\tag{13}\]

из которого определяем

\[\Delta\tau_1 = \frac{(u - v)}{u}(t_3 + \Delta t_1) - \tau_2 = \frac{2}{3} \cdot 45 - 20 = 10 \text{ мин}.\tag{14}\]

Так десятиминутная задержка привела к пятнадцатиминутному опозданию, взбучке, лишним километрам, да еще и к необходимости резко увеличить скорость бега!

2.2 Так как неудачная встреча Шарика с Федей произошла в точке \(x'_3 = v(t_3 + \Delta t_1) = 2250 \text{ м}\), в момент времени \(t'_3 = 45 \text{ мин}\), а следующая встреча в момент времени \(t = \tau_4 = 60 \text{ мин}\) в точке \(x_4 = 3000 \text{ м}\), то средняя скорость, которую должен развить Шарик должна быть равна

\[\langle u \rangle = \frac{x'_3 + x_4}{\tau_4 - t'_3} = \frac{5250 \text{ м}}{15 \text{ мин}} = 350 \frac{\text{м}}{\text{мин}}.\tag{15}\]

Судя по документальной хронике – такая скорость Шарику доступна! Возвратится же он домой после этой бешеной гонки в момент времени

\[\tau'_3 = t'_3 + \frac{x'_3}{\langle u \rangle} = 45 + \frac{2250}{350} = 51 \text{ мин}.\tag{16}\]

Как видно, он более чем на 10 минут опоздал и на встречу с Матроскиным, что привело к еще одному воспитательному мероприятию!

2.3–2.4 По плану Федя должен был входить в деревню в момент времени \(T = 100 \text{ мин}\), а в реальности он вошел в нее в момент времени \(\tau_5 = 113 \text{ мин}\). Следовательно, он отдыхал в течении промежутка времени

\[\Delta t_2 = \tau_5 - T = 13 \text{ мин}.\tag{17}\]

Где именно Федя устроил место отдыха сказать невозможно. Поэтому на графике закона движения этот горизонтальный участок может находиться в произвольном месте (на рис. 3 – сразу после встречи с Шариком).

2.5 Из графика видно, что удлинение пути произошло из-за того, что третья встреча произошла дальше, чем запланировано, при этом

\[\Delta L = 2(x'_3 - x_3) = 2 \cdot (2250 - 1500) = 1500\,\text{м} = 1{,}5\,\text{км}.\tag{18}\]

Делайте все вовремя!}

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.