Брусок на доске, сила на бруске

Относительное движение начнётся, когда сила трения покоя между бруском и доской достигнет предельного значения \(\mu mg\). Дальше используйте, что доска и брусок движутся с разными ускорениями, и рассмотрите их относительное ускорение.

1) \(F = F_{\text{мин}}\), если брусок движется относительно доски без ускорения. \[\begin{aligned} F_{\text{мин}} - \mu mg &= ma, \\ \mu mg &= 2ma \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad \frac{F_{\text{мин}} - \mu mg}{\mu mg} = \frac{1}{2}, \qquad F_{\text{мин}} = \frac{3}{2}\mu mg.\]

2) При \(F > F_{\text{мин}}\): \[F - \mu mg = ma_1, \quad a_1 = \frac{F}{m} - \mu g; \qquad \mu mg = 2ma_2, \quad a_2 = \frac{1}{2}\mu g.\] Относительное ускорение \(a_{1\,\text{отн}} = a_1 - a_2 = \dfrac{F}{m} - \dfrac{3}{2}\mu g\). Из \(L = \dfrac{a_{1\,\text{отн}}\tau^2}{2}\) получаем \[\tau = \sqrt{\frac{2L}{a_{1\,\text{отн}}}} = \sqrt{\frac{4mL}{2F - 3\mu mg}}.\]