Физтех, 2017/18, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого груза отдельно и свяжите их ускорения через нерастяжимость нити, перекинутой через подвижный блок.

Ответ

1) \(a_2 = \dfrac{g}{10} = 1\) м/с\(^2\);  2) \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{11}{16}\).

Решение

1) Т.к. нить нерастяжима, то \(a_2 = \dfrac{1}{2}a_1 = \dfrac{g}{10} = 1\) м/с\(^2\).

2) Уравнения движения грузов (\(T\) — сила натяжения нити): \[m_1g - T = m_1a_1, \qquad 2T - m_2g = m_2a_2 = \dfrac{1}{2}m_2a_1.\] Из них \(\left(2m_1 - m_2\right)g = \left(2m_1 + \dfrac{1}{2}m_2\right)a_1 = \left(2m_1 + \dfrac{1}{2}m_2\right)\dfrac{g}{5}\), откуда \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{11}{16}\).

Подсказка

Максимальная высота снаряда из пушки 1 выражается через \(V_0\sin\alpha\). Для столкновения приравняйте высоты обоих снарядов в один и тот же момент времени после выстрела из пушки 1, выбрав корень квадратного уравнения, который отвечает моменту выстрела пушки 2 после пушки 1.

Ответ

1) \(U_0 = \sqrt{2}\,V_0\sin\alpha\);  2) \(\Delta t = \left(2 - \sqrt{2}\right)\dfrac{V_0\sin\alpha}{g}\).

Решение

\(H\) — максимальная высота подъёма снаряда 1-й пушки. \(U_0\) — начальная скорость снаряда 2-й пушки.

1) \(H = \dfrac{\left(V_0\sin\alpha\right)^2}{2g}\). \(\dfrac{U_0^2}{2g} = 2H = \dfrac{\left(V_0\sin\alpha\right)^2}{g}\), откуда \(U_0 = \sqrt{2}\,V_0\sin\alpha\).

2) \(t_1\), \(t_2\) — времена полета снарядов до столкновения. \(H = U_0t_2 - \dfrac{gt_2^2}{2}\); \(gt_2^2 - 2U_0t_2 + 2H = 0\), откуда \[t_2 = \frac{U_0 - \sqrt{U_0^2 - 2gH}}{g}.\] Из этих соотношений: \(t_2 = \left(\sqrt{2} - 1\right)\dfrac{V_0\sin\alpha}{g}\), \(t_1 = \dfrac{V_0\sin\alpha}{g}\), откуда \(\Delta t = t_1 - t_2 = \left(2 - \sqrt{2}\right)\dfrac{V_0\sin\alpha}{g}\).

Замечание. Подходит только один корень квадратного уравнения, т.к. по условию 2-я пушка стреляет после 1-й.

Подсказка

Относительное движение начнётся, когда сила трения покоя между бруском и доской достигнет предельного значения \(\mu mg\). Дальше используйте, что доска и брусок движутся с разными ускорениями, и рассмотрите их относительное ускорение.

Ответ

1) \(F_{\text{мин}} = \dfrac{3}{2}\mu mg\);  2) \(\tau = \sqrt{\dfrac{4mL}{2F - 3\mu mg}}\).

Решение

1) \(F = F_{\text{мин}}\), если брусок движется относительно доски без ускорения. \[\begin{aligned} F_{\text{мин}} - \mu mg &= ma, \\ \mu mg &= 2ma \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad \frac{F_{\text{мин}} - \mu mg}{\mu mg} = \frac{1}{2}, \qquad F_{\text{мин}} = \frac{3}{2}\mu mg.\]

2) При \(F > F_{\text{мин}}\): \[F - \mu mg = ma_1, \quad a_1 = \frac{F}{m} - \mu g; \qquad \mu mg = 2ma_2, \quad a_2 = \frac{1}{2}\mu g.\] Относительное ускорение \(a_{1\,\text{отн}} = a_1 - a_2 = \dfrac{F}{m} - \dfrac{3}{2}\mu g\). Из \(L = \dfrac{a_{1\,\text{отн}}\tau^2}{2}\) получаем \[\tau = \sqrt{\frac{2L}{a_{1\,\text{отн}}}} = \sqrt{\frac{4mL}{2F - 3\mu mg}}.\]

Подсказка

В начальном состоянии цилиндр находится в равновесии, и сила Архимеда уравновешивает его вес. В конечном состоянии учтите, что пружина растянута и на цилиндр действует её сила, а объём погруженной части совпадает с объёмом цилиндра.

Ответ

1) \(M = \dfrac{1}{2}\rho\pi r^2H\);  2) \(h = \dfrac{H}{2}\left(1 + \dfrac{\pi r^2\rho g}{K}\right)\).

Решение

1) Условие равновесия вначале: \(\rho_{\text{ц}}\pi r^2Hg = \rho\pi r^2\dfrac{H}{2}g\), откуда \(\rho_{\text{ц}} = \dfrac{\rho}{2}\). Масса цилиндра: \(M = \rho_{\text{ц}}\pi r^2H = \dfrac{1}{2}\rho\pi r^2H\).

2) Условие равновесия в конце (\(\Delta l\) — деформация пружины): \[\rho\pi r^2Hg = \rho_{\text{ц}}\pi r^2Hg + K\Delta l = \frac{\rho}{2}\pi r^2Hg + K\Delta l \quad\Rightarrow\quad \Delta l = \frac{\rho\pi r^2Hg}{2K}.\] \[h = \frac{H}{2} + \Delta l = \frac{H}{2}\left(1 + \frac{\pi r^2\rho g}{K}\right).\]

Подсказка

Мощность пропорциональна квадрату напряжения при одинаковом сопротивлении нагревательного элемента. Время нагрева пропорционально массе воды и обратно пропорционально мощности.

Ответ

1) \(\dfrac{P_2}{P_1} = 0{,}81\);  2) \(\tau_2 = \dfrac{100}{27}\tau_1 \approx 3{,}7\tau_1\).

Решение

\(R\) — сопротивление нагревательного элемента чайника.

1) \(P_1 = \dfrac{U^2}{R}\), \(P_2 = \dfrac{(0{,}9U)^2}{R}\), откуда \(\dfrac{P_2}{P_1} = 0{,}81\).

2) \[\begin{aligned} \frac{U^2}{R}\tau_1 &= c_{\text{в}}m\left(T_{\text{кип}} - T\right), \\ \frac{(0{,}9U)^2}{R}\tau_2 &= c_{\text{в}}\cdot 3m\left(T_{\text{кип}} - T\right) \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad \frac{\tau_1}{0{,}81\,\tau_2} = \frac{1}{3}, \qquad \tau_2 = \frac{100}{27}\tau_1 \approx 3{,}7\tau_1.\]