Две пушки: столкновение снарядов

Максимальная высота снаряда из пушки 1 выражается через \(V_0\sin\alpha\). Для столкновения приравняйте высоты обоих снарядов в один и тот же момент времени после выстрела из пушки 1, выбрав корень квадратного уравнения, который отвечает моменту выстрела пушки 2 после пушки 1.

\(H\) — максимальная высота подъёма снаряда 1-й пушки. \(U_0\) — начальная скорость снаряда 2-й пушки.

1) \(H = \dfrac{\left(V_0\sin\alpha\right)^2}{2g}\). \(\dfrac{U_0^2}{2g} = 2H = \dfrac{\left(V_0\sin\alpha\right)^2}{g}\), откуда \(U_0 = \sqrt{2}\,V_0\sin\alpha\).

2) \(t_1\), \(t_2\) — времена полета снарядов до столкновения. \(H = U_0t_2 - \dfrac{gt_2^2}{2}\); \(gt_2^2 - 2U_0t_2 + 2H = 0\), откуда \[t_2 = \frac{U_0 - \sqrt{U_0^2 - 2gH}}{g}.\] Из этих соотношений: \(t_2 = \left(\sqrt{2} - 1\right)\dfrac{V_0\sin\alpha}{g}\), \(t_1 = \dfrac{V_0\sin\alpha}{g}\), откуда \(\Delta t = t_1 - t_2 = \left(2 - \sqrt{2}\right)\dfrac{V_0\sin\alpha}{g}\).

Замечание. Подходит только один корень квадратного уравнения, т.к. по условию 2-я пушка стреляет после 1-й.