Коробка с батарейкой

Мощность на резисторе \(R\) задаёт ток в цепи. Какой ток был в первом включении и какой во втором? Что показывает рост тока при смене полюсов: напряжения складывались или вычитались?

Напряжение батарейки в коробке \(\mathcal E=3\) В, сопротивление резистора в коробке \(r=1\) Ом.

Что происходит. В коробке последовательно соединены батарейка с напряжением \(\mathcal E\) и резистор \(r\) (внутренним сопротивлением батарейки пренебрегаем: оно неотличимо от \(r\)). Внешняя батарейка \(U\) и резистор \(R\) включены последовательно с коробкой. Токи в двух включениях найдём по мощности на \(R\). Рост тока при смене полюсов означает, что сначала напряжения вычитались, потом сложились. Главная идея: закон Ома для замкнутой цепи в двух включениях и перебор знаков.

Обозначения. Ток \(I_1\) и \(I_2\) — в первом и втором включении; \(X=R+r\) — полное сопротивление цепи; все напряжения считаем положительными.

1. Токи. Мощность на резисторе \(R\): \(P=I^2R\). Отсюда \[I_1=\sqrt{P_1/R}=1\text{ А},\qquad I_2=\sqrt{P_2/R}=2\text{ А}.\]

2. Знаки. Закон Ома для замкнутой цепи, состоящей из последовательно соединённых источников и резисторов: ток равен суммарному напряжению, делённому на полное сопротивление. Внешняя батарейка включается то так, то так, поэтому суммарное напряжение равно \(\mathcal E+U\) (складываются) или \(|\mathcal E-U|\) (вычитаются). Ток вырос вдвое, значит, после переключения напряжения складываются, а до него вычитались: \[|\mathcal E-U|=I_1X,\qquad \mathcal E+U=I_2X .\] (Иначе было бы \(|\mathcal E-U|>\mathcal E+U\), что невозможно при \(\mathcal E,U>0\).)

3. Решение. Раскроем модуль. Если \(\mathcal E<U\): \(U-\mathcal E=X\) и \(\mathcal E+U=2X\) дают \(U=\tfrac32X\), \(X=\tfrac23\text{ Ом}<R\) — невозможно, так как \(X=R+r\ge1\) Ом. Значит, \(\mathcal E>U\): \[\mathcal E-U=X,\quad\mathcal E+U=2X\quad\Rightarrow\quad U=\frac X2,\ X=2U=2\text{ Ом},\ \mathcal E=\frac32X=3\text{ В}.\] Тогда \(r=X-R=1\) Ом.

Обратите внимание: в условии не сказано, при каком включении батарейки действуют согласно, а при каком навстречу. Нельзя выбирать наугад: перебор показывает, что единственный вариант — сначала навстречу (\(\mathcal E-U=2\) В, ток \(1\) А), потом согласно (\(\mathcal E+U=4\) В, ток \(2\) А).

Проверка. Подставим: первое включение \(I_1=\dfrac{3-1}{1+1}=1\) А, \(P_1=1^2\cdot1=1\) Вт; второе \(I_2=\dfrac{3+1}{2}=2\) А, \(P_2=2^2\cdot1=4\) Вт — как в условии. Размерность: В/Ом = А, А\(^2\cdot\)Ом = Вт. Мощность при согласном включении больше, потому что напряжения складываются.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.