Нагреватель в стакане

Вода нагревается мощностью нагревателя минус потери в воздух. Что останется, если нагреватель выключить, и как найти эти потери по таблице?

1) на \(\approx3\,{}^\circ\text{C}\);  2) не закипит: нагрев прекращается при \(\approx85\,{}^\circ\text{C}\).

Что происходит. Вода получает от нагревателя постоянную мощность \(P\) и отдаёт воздуху мощность потерь \(W(T)\), которая растёт с температурой. Скорость нагрева \(C\dot T=P-W(T)\), где \(C\) — теплоёмкость воды со стаканом. Если нагреватель выключить, остаётся \(C\dot T=-W(T)\). Значит, скорость остывания при данной температуре — это та часть \(P/C\), которой не хватает скорости нагрева. Главная идея: по таблице найти скорость нагрева \(\dot T\) при разных \(T\) и добраться до \(P/C\) экстраполяцией к комнатной температуре, где потерь нет.

Обозначения. \(T\) в \(^\circ\)C; \(\dot T=dT/dt\) в \(^\circ\)C/мин. Считаем, что вода в начале опыта (\(20\,^\circ\)C) была при комнатной температуре, то есть потери при ней нулевые.

1. Скорость нагрева по таблице. Нагрев за каждую минуту: \(6{,}2;\ 5{,}6;\ 5{,}0;\ 4{,}6;\ 4{,}2;\ 3{,}7;\ 3{,}4;\ 3{,}1;\ 2{,}7;\ 2{,}6\ ^\circ\text{C}\). За минуту скорость меняется слабо, поэтому прирост за минуту равен \(\dot T\) в её середине, при средней температуре воды за минуту: \(23{,}1;\ 29{,}0;\ 34{,}3;\ 39{,}1;\ 43{,}5;\ 47{,}5;\ 51{,}0;\ 54{,}3;\ 57{,}2;\ 59{,}8\ ^\circ\)C. На рисунке точки \((T,\dot T)\) ложатся на прямую \[\dot T\approx8{,}5-0{,}10\,T\ (^\circ\text{C/мин},\ T\ \text{в}\ ^\circ\text{C}).\]

2. Мощность нагревателя. При комнатной температуре \(20\,^\circ\)C потерь нет: \(\dot T=P/C\). По прямой при \(T=20\,^\circ\)C: \[\frac PC\approx6{,}5\ ^\circ\text{C/мин}.\]

3. Потери при \(50\,^\circ\)C. По прямой при \(T=50\,^\circ\)C скорость нагрева \(\dot T\approx3{,}5\ ^\circ\)C/мин. Тогда \[\frac{W(50)}{C}=\frac PC-\dot T=6{,}5-3{,}5=3{,}0\ ^\circ\text{C/мин}.\] При выключенном нагревателе потери при той же температуре те же, поэтому вода остывает со скоростью \(3{,}0\ ^\circ\)C/мин. За минуту температура падает на \(3\) градуса из \(30\) над комнатной — потери убывают всего на десятую часть, поэтому за минуту вода остынет на \(\approx3\,^\circ\)C (точный расчёт ниже даёт \(2{,}9\)).

Обратите внимание: скорость остывания при \(50\,^\circ\)C — не \(3{,}5\ ^\circ\)C/мин, с которой вода нагревается при той же температуре. При нагреве потери вычитаются из \(P/C=6{,}5\), а при остывании нагревателя нет, и остаётся потеря целиком.

4. Закипит ли. Прямая \(\dot T(T)\) пересекает ось \(\dot T=0\) при \[T_{\max}=\frac{8{,}5}{0{,}10}\,^\circ\text{C}=85\,^\circ\text{C}.\] При этой температуре потери сравнялись с мощностью нагревателя, нагрев прекращается. До \(100\,^\circ\)C вода дойти не может. Потери вблизи кипения растут быстрее линейного закона (усиливается испарение), так что реальный предел ещё ниже; вывод не зависит от этого допущения.

Проверка. Размерность: \(^\circ\)C/мин. Второй способ: из \(\dot T=k\,(T_{\infty}-T)\) с \(k=0{,}10\text{ мин}^{-1}\) и \(T_\infty=85\,^\circ\)C получается \(T=85-65\,e^{-kt}\): при \(t=5\) мин — \(45{,}6\,^\circ\)C, при \(t=10\) мин — \(61{,}1\,^\circ\)C, то есть как в таблице. Остывание после выключения: \(T-20=30\,e^{-kt}\), за минуту падение на \(30(1-e^{-0{,}1})=2{,}9\,^\circ\)C. Оба способа дают \(\approx3\,^\circ\)C.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.