Карандаш на парте

Карандаш лежит на плоской грани, как брусок на наклонной плоскости. Ему угрожают два движения: соскальзывание и опрокидывание через нижнее ребро. Для каждого свой критерий.

1) \(\mu\ge\operatorname{tg}\alpha\approx0{,}84\);  2) \(\cos\varphi\le\dfrac{\operatorname{tg}30^\circ}{\operatorname{tg}\alpha}\), то есть \(\varphi\ge46{,}5^\circ\) (до \(90^\circ\), вдоль линии наибольшего ската).

Что происходит. Карандаш лежит на плоской грани, как брусок на наклонной плоскости. Сила трения покоя не даёт ему соскользнуть; она может быть направлена в любую сторону вдоль стола. Но у бруска есть и другой способ упасть: перевернуться через нижнее ребро, если вертикаль через центр масс выйдет за основание. Для шестигранного карандаша это и значит «скатиться». Главная идея: условие на скольжение — пункт 1; условие на опрокидывание — правило моментов относительно нижнего ребра — пункт 2.

Обозначения. \(m\) — масса карандаша; \(a\) — сторона правильного шестиугольника в сечении; \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}a\) — расстояние от центра масс до грани, на которой он лежит; угол \(\varphi\) — между осью карандаша и горизонтальной прямой на столе (рисунок условия). Центр масс — в середине карандаша, на его оси.

Пункт 1. Скольжение.

1. Силы. На карандаш действуют сила тяжести \(m\vec g\), нормальная реакция \(\vec N\) и сила трения покоя \(\vec F_{\text{тр}}\), лежащая в плоскости стола и направленная вверх по склону. Карандаш покоится: второй закон Ньютона с нулевым ускорением в проекциях на линию наибольшего ската и на нормаль к столу: \[F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha,\qquad N=mg\cos\alpha .\] Трение покоя не превышает \(\mu N\), поэтому \(mg\sin\alpha\le\mu\,mg\cos\alpha\): \[\mu\ge\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{tg}40^\circ\approx0{,}84 .\] Обратите внимание: условие не зависит от \(\varphi\). Сила трения покоя может быть направлена как угодно вдоль стола и уравновешивает всю составляющую силы тяжести вдоль стола, как бы ни лежал карандаш.

Пункт 2. Опрокидывание.

2. Составляющая силы тяжести поперёк оси. Составляющая вдоль стола \(F=mg\sin\alpha\) направлена по линии ската, а ось карандаша повёрнута к горизонтали на угол \(\varphi\), то есть к линии ската — на угол \(90^\circ-\varphi\) (рисунок). Составляющая вдоль оси \(F_{\parallel}=F\sin\varphi\) не вращает карандаш вокруг ребра: она параллельна ребру. Составляющая поперёк оси \[F_{\perp}=F\cos\varphi=mg\sin\alpha\cos\varphi\] стремится перевернуть карандаш через нижнее ребро.

3. Правило моментов относительно нижнего ребра. В предельном случае, на грани опрокидывания, вся реакция стола (нормальная и трение) приложена на нижнем ребре, и её момент относительно линии ребра равен нулю. Оставшиеся силы — составляющие силы тяжести, приложенные в центре масс (рисунок): \(mg\cos\alpha\) прижимает карандаш к столу с плечом \(a/2\) (половина стороны основания: центр масс над серединой грани), \(F_{\perp}\) опрокидывает с плечом \(h\) (высота центра масс над гранью). На рисунке — предельный случай: равнодействующая этих двух составляющих проходит через ребро. Карандаш не опрокинется, если \[F_{\perp}\,h\le mg\cos\alpha\cdot\frac a2 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha\cos\varphi\le\frac{a}{2h}=\frac1{\sqrt3}=\operatorname{tg}30^\circ .\] Это правило моментов относительно оси, проходящей через ребро: так можно записывать условие, когда тело неподвижно.

4. Угол. Из пункта 3: \[\cos\varphi\le\frac{\operatorname{tg}30^\circ}{\operatorname{tg}40^\circ}=\frac{0{,}577}{0{,}839}\approx0{,}688\quad\Rightarrow\quad\varphi\ge46{,}5^\circ .\] Верхняя граница — \(\varphi=90^\circ\), когда карандаш лежит вдоль линии наибольшего ската и составляющая поперёк оси равна нулю. При \(\varphi=0^\circ\) (поперёк ската) карандаш бы катился: \(\operatorname{tg}40^\circ=0{,}84>0{,}58\).

Обратите внимание: из двух условий угол \(\varphi\) даёт только условие на опрокидывание, а коэффициент трения — только условие на скольжение. Они независимы: карандаш можно положить так, что он не перевернётся, но он всё равно соскользнёт, если \(\mu<\operatorname{tg}\alpha\).

Проверка. Все величины безразмерны. Предел \(\alpha\to0\): \(\operatorname{tg}\alpha\cos\varphi\to0\), карандаш не опрокидывается при любом \(\varphi\), и трение не нужно (\(\mu\ge0\)) — верно. Граничный случай \(\alpha=30^\circ\) (грани шестиугольника дают угол \(30^\circ\)): при \(\varphi=0\) карандаш ровно на грани опрокидывания, по формуле \(\operatorname{tg}30^\circ\cos0\le\operatorname{tg}30^\circ\) — равенство.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.