Коробка на ленте

Трение действует против скорости коробки относительно ленты. Как меняется эта относительная скорость, и как из неё получить скорость относительно Земли?

\(u_{\min}=\dfrac{u_0v_0}{\sqrt{u_0^2+v_0^2}}=\dfrac{2}{\sqrt5}\text{ м/с}\approx0{,}89\text{ м/с}.\)

Что происходит. Коробка попадает на ленту со скоростью поперёк ленты, а лента едет вдоль. Пока коробка скользит по ленте, на неё действует сила трения скольжения; она направлена против скорости коробки относительно ленты и постоянна по модулю, так как \(N=mg\) и \(\mu\) не меняются. Поэтому относительная скорость не меняет направления, а её модуль равномерно убывает до нуля, после чего коробка едет вместе с лентой. Скорость относительно Земли — это сумма постоянной скорости ленты и убывающей относительной скорости. Главная идея: сложить скорости на диаграмме и найти на ней вектор наименьшей длины.

Обозначения. Ось \(x\) вдоль ленты, ось \(y\) поперёк, в плоскости ленты. \(\vec v_0\) — скорость ленты; \(\vec u\) — скорость коробки относительно Земли в произвольный момент, \(\vec u_0\) — в начальный; \(\vec w=\vec u-\vec v_0\) — скорость коробки относительно ленты, \(\vec w_0=\vec u_0-\vec v_0\) в начальный момент.

1. Скорость относительно ленты в начале. Проекции: \(w_{0x}=-v_0\), \(w_{0y}=u_0\), поэтому \(w_0=\sqrt{v_0^2+u_0^2}=\sqrt5\) м/с, а направление — назад по ходу ленты и поперёк.

2. Движение относительно ленты. Лента движется равномерно, поэтому система отсчёта «лента» инерциальна. Запишем второй закон Ньютона для коробки в этой системе: единственная горизонтальная сила — трение скольжения \(\mu mg\), направленное против \(\vec w\): \[m\vec a_{\text{отн}}=-\mu mg\,\frac{\vec w}{w}.\] Ускорение направлено против \(\vec w\), значит, \(\vec w\) остаётся параллельным \(\vec w_0\), а его модуль убывает от \(w_0\) до нуля. Запишем \(\vec w=s\,\vec w_0\), где число \(s\) убывает от \(1\) до \(0\).

3. Скорость относительно Земли. Складываем скорости: \(\vec u=\vec v_0+s\,\vec w_0\). При \(s=1\) получаем \(\vec u_0\), при \(s=0\) — \(\vec v_0\). На диаграмме скоростей (рисунок) конец вектора \(\vec u\) скользит по прямой от конца \(\vec u_0\) к концу \(\vec v_0\). Самый короткий вектор из начала координат до точки на этой прямой — перпендикуляр к ней.

4. Минимум. Проекции: \(u_x=v_0(1-s)\), \(u_y=u_0s\), откуда \[u^2=v_0^2(1-s)^2+u_0^2s^2 .\] Производная по \(s\) равна нулю при \(-2v_0^2(1-s)+2u_0^2s=0\), то есть \(s_*=\dfrac{v_0^2}{v_0^2+u_0^2}=\dfrac15\). Это значение лежит между \(0\) и \(1\), поэтому минимум достигается во время скольжения. Подставим: \[u_{\min}=\frac{u_0v_0}{\sqrt{u_0^2+v_0^2}}=\frac{2\cdot1}{\sqrt5}\text{ м/с}\approx0{,}89\text{ м/с}.\] Геометрически это высота прямоугольного треугольника с катетами \(v_0\) и \(u_0\), опущенная на гипотенузу.

Обратите внимание: минимум скорости не в начале (2 м/с) и не в конце скольжения (1 м/с), а в середине: когда \(\vec u\perp\vec w\). Физический смысл тот же: сила трения направлена вдоль \(\vec w\), мощность трения \(\vec F\cdot\vec u\) равна нулю, кинетическая энергия коробки в этот момент не меняется и проходит через минимум.

Проверка. Размерность: м/с. Предел \(v_0\to0\) (лента неподвижна): \(u_{\min}\to0\), коробка тормозится до остановки. Предел \(u_0\to\infty\): \(u_{\min}\to v_0\), коробка быстро теряет поперечную скорость и едет с лентой. Численно: при \(s=\tfrac15\) получаем \(u_x=0{,}8\), \(u_y=0{,}4\) м/с, \(u=\sqrt{0{,}64+0{,}16}\text{ м/с}=0{,}89\) м/с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.