Электростатические измерения

Сила, действующая на подвижную пластину, уравновешивается упругостью пружин. При заданном заряде сила постоянна; при заданном напряжении она растёт со смещением, поэтому равновесие существует и устойчиво лишь на части диапазона — удобнее строить \(U(x)\).

1) \(x=\dfrac{q^2}{8\varepsilon_0Sk}\), \(q_{\min}\approx4{,}2\cdot10^{-10}\) Кл, \(q_{\max}\approx4{,}2\cdot10^{-9}\) Кл, относительная погрешность \(\dfrac{\delta x}{2x}\) (минимум \(0{,}5\%\));  2) \(U=\sqrt{\dfrac{2kd_0^3}{\varepsilon_0S}}\left(1-\dfrac{x}{d_0}\right)\sqrt{\dfrac{x}{d_0}}\), измеряемые напряжения от \(\approx12\) В до \(U_{\max}\approx65\) В (при \(x/d_0=1/3\)).

Так как пластинки одинаковы, то сообщенный заряд \(q\) распределится между ними поровну. Электрическая сила, действующая на подвижную пластинку, может быть определена из очевидной цепочки равенств

\[F=E \frac{q}{2}=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{2}=\frac{1}{2 \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{2 S} \cdot \frac{q}{2}=\frac{q^{2}}{8 \varepsilon_{0} S}.\tag{1}\]

Эта постоянная сила отталкивания уравновешивается силой упругости пружинок

\[F=k x,\tag{2}\]

поэтому заряд прибора и смещением пружинки связаны соотношениями

\[x=\frac{q^{2}}{8 \varepsilon_{0} S k} ; \quad q=\sqrt{8 \varepsilon_{0} S k x}.\tag{3}\]

Минимальный заряд, который можно измерить с помощью данного прибора, равен

\[q_{\min} = \sqrt{8\varepsilon_0 Sk\delta x} = 4{,}2 \cdot 10^{-10}\,\text{Кл},\tag{4}\]

а максимальный

\[q_{\max} = \sqrt{8\varepsilon_0 Sk\Delta x} = 4{,}2 \cdot 10^{-9}\,\text{Кл}.\tag{5}\]

Относительная погрешность измерения заряда рассчитывается по формуле

\[\frac{\Delta q}{q} = \frac{q'_x \delta x}{q} = \frac{\delta x}{2x},\tag{6}\]

она минимальна при максимальном смещении пластинки, при котором составляет \(0{,}5\%\).

График зависимости смещения пластинки от величины заряда представляет собой «банальную» параболу

\[x = 5{,}6 \cdot 10^{-2} q^2,\]

где \(x\) — измерена в миллиметрах, а \(q\) в нанокулонах.

2. При заданном напряжении между пластинами при их относительном смещении измеряется заряд каждой из пластин. В этом случае силу электрического притяжения можно вычислить с помощью следующей цепочки

\[F = \sigma S \cdot \frac{E}{2} = \varepsilon_0 E S \cdot \frac{E}{2} = S \cdot \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 S}{2} \left( \frac{U}{d} \right)^2 = \frac{\varepsilon_0 S U^2}{2(d_0 - x)^2}.\tag{8}\]

Приравнивая ее к силе упругости пружин, получим уравнение, связывающее смещение пластинки и приложенное напряжение

\[\frac{\varepsilon_0 S U^2}{2(d_0 - x)^2} = kx.\tag{9}\]

Выразить из этого уравнения в явном виде \(x\) как функцию \(U\), по меньшей мере, затруднительно. Проанализируем уравнение (9) графически, для чего построим графики зависимостей электрической силы и силы упругости от смещения пластинки.

Легко заметить, что в интересующем нас диапазоне \(x \in [0, d_0]\) уравнение (9) может иметь либо два корня (а), либо один (в), либо ни одного корня (б).

Традиционный анализ устойчивости (электрическая сила стремится увеличить смещение, а сила упругости – уменьшить), показывает, что в случае (а) устойчивым является меньший корень, в случае (в) – корень неустойчив. Отсутствие корней свидетельствует об отсутствии положения равновесия подвижной пластинки, то есть в этом случае никакие измерения невозможны.

Если сложно построить график зависимости \(x(U)\), то можно построить зависимость \(U(x)\)! Выразим из уравнения (9)

\[U = \sqrt{\frac{2kd_0^3}{\varepsilon_0 S}} \cdot \left(1 - \frac{x}{d_0}\right) \sqrt{\frac{x}{d_0}}.\tag{10}\]

Обозначим \(A = \sqrt{\frac{2kd_0^3}{\varepsilon_0 S}} \approx 170\,\text{В}\), \(\xi = \frac{x}{d_0}\) и получим «совсем простую зависимость \(U = A(1 - \xi)\sqrt{\xi}\). Построить график этой функции можно с помощью традиционных методов анализа функций. Результат такого построения показан на рисунке.

Как было отмечено выше, верхняя ветвь этой зависимости неустойчива, поэтому изображена пунктиром. Из анализа функции (10) следует, что максимальное напряжение, поддающееся измерению достигается при \(\xi = 0{,}33\) и равно \(U_{\text{max}} \approx 65\,\text{В}\). Минимальное измеримое напряжение рассчитывается при подстановке в функцию (10) минимально измеримого \(x = \delta x\). В этом случае \(U_{\text{min}} \approx 12\,\text{В}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.