Плавление и кристаллизация

В стационарном режиме поток теплоты постоянен, поэтому температура в пластине меняется линейно. Рост или таяние льда считайте квазистационарным: выделяемая (поглощаемая) теплота равна теплоте, переносимой потоком через слой.

1) \(T=T_1+\dfrac{T_2-T_1}{h}x\);  2) \(\tau_0\approx\dfrac{c_1\rho_1h^2}{2\beta_1}\approx4\cdot10^4\) с \(\approx11\) ч;  3) \(h=\sqrt{\dfrac{2\beta_1\Delta t^\circ}{\lambda\rho_1}\tau}\), через неделю \(\approx30\) см;  4) \(x=h_0-\sqrt{\dfrac{2\beta_0t_1\rho_0}{\rho_1^2\lambda}\tau}\), лёд тает \(\approx1{,}9\cdot10^6\) с \(\approx22\) суток;  5) \(x=h_0-\dfrac{\gamma t}{\lambda\rho_1}\tau\), где \(t\approx4{,}85\,^\circ\)C — температура воды, время таяния \(\approx1{,}5\cdot10^4\) с \(\approx4{,}3\) ч.

1. В стационарном режиме плотность теплового потока остается постоянной во всех точках внутри пластины

\[q = -\beta \frac{\Delta T}{\Delta x} = const.\tag{1}\]

Из этого условия следует, что температура внутри пластины изменяется по линейному закону. Учитывая значения температур на противоположных сторонах пластины, можно записать

\[T = T_1 + \frac{T_2 - T_1}{h} x.\tag{2}\]

2. Пусть для определенности \(T_2 > T_1\). Тогда до установления стационарного режима пластинка площади \(S\) должна поглотить количество теплоты

\[Q = c_1 \rho_1 S h \frac{(T_2 - T_1)}{2}.\tag{3}\]

Для получения оценки характерного времени установления теплового равновесия примем, что тепловой поток от более нагретой стороны пластины равен потоку в стационарном режиме, тогда за время \(\tau\) пластинка получит количество теплоты, равное

\[Q = \beta_1 S \frac{T_2 - T_1}{h} \tau.\tag{4}\]

Приравнивая эти выражения, получим оценку времени установления равновесия

\[\tau_{0} \approx \frac{c_{1} \rho_{1} h^{2}}{2 \beta_{1}}.\tag{5}\]

Подставляя численные характеристики льда, получим \(\tau_{0} \approx 4 \cdot 10^{4}\,\text{с} \approx 11 \text{ ч}\).

3. При замерзании (кристаллизации) льда выделяется некоторое количество теплоты, которое должно быть перенесено через имеющийся слой льда в окружающий воздух.

Будем считать, что в любой момент времени при любой толщине льда \(h\) распределение температуры внутри льда соответствует стационарному (справедливость этого предположения оценим далее). Пусть за малый промежуток времени \(\Delta \tau\) толщина льда увеличилась на величину \(\Delta h\), тогда уравнение теплового баланса будет иметь вид

\[\lambda \rho_{1} S \Delta h = \beta_{1} S \frac{\Delta t^{\circ}}{h} \Delta \tau,\tag{6}\]

где \(\Delta t^{\circ} = -t_{1}\) разность температур между нижней и верхней границей льда.

Учитывая, что для малых интервалов \(h \Delta h = \Delta \left( \frac{h^{2}}{2} \right)\) из уравнения (6) получим

\[\tau = \frac{\lambda \rho_{1} h^{2}}{2 \beta_{1} \Delta t^{\circ}}.\tag{7}\]

Сравнивая это выражение с оценкой времени установления стационарного теплового потока (5), найдем отношение характерного времени установления стационарного режима ко времени намерзания \(\frac{\tau_{0}}{\tau_{1}} = \frac{c_{1} \Delta t^{\circ}}{\lambda} \approx 0{,}06\). Как следует из этого, время намерзания более чем на порядок превышает время установления стационарного режима, что обосновывает сделанное приближение о квазистационарном потоке через толщу льда. Из соотношения (7) находим зависимость толщины льда от времени

\[h = \sqrt{\frac{2 \beta_{1} \Delta t^{\circ}}{\lambda \rho_{1}} \tau}.\tag{8}\]

Подстановка численных значений приводит к результату

\[h = \sqrt{\frac{2 \cdot 2{,}2 \cdot 10}{3{,}3 \cdot 10^{5} \cdot 0{,}90 \cdot 10^{3}} \cdot 7 \cdot 24 \cdot 3600} \approx 30 \text{ см}.\]

4. При плавлении льда, теплота необходимая для плавления поступает от нагретого воздуха через слой воды посредством теплопередачи. Опять используем квазистационарное приближение. Обозначим толщину льда в произвольный момент времени \(x\), а толщину слоя воды \(h\). Используя условие сохранения воды, запишем равенство

\[\rho_{1} x + \rho_{0} h = \rho_{1} h_{0},\tag{9}\]

из которого следует

\[h = \frac{\rho_{1}}{\rho_{0}} (h_{0} - x),\tag{10}\]

Пусть за время \(\Delta \tau\) толщина льда уменьшилась на величину \(\Delta x\), тогда уравнение теплового баланса будет иметь вид

\[\beta_{0} \frac{t_{1}}{h} S \Delta \tau = -\lambda \rho_{1} S \Delta x.\tag{11}\]

Из уравнений (10)-(11) с учетом начальных условий получим соотношение

\[\frac{\left(h_{0}-x\right)^{2}}{2}=\frac{\beta_{0} t_{1} \rho_{0}}{\rho_{1}^{2} \lambda} \tau,\tag{12}\]

из которого определим закон изменения толщины льда

\[x=h_{0}-\sqrt{\frac{2 \beta_{0} t_{1} \rho_{0}}{\rho_{1}^{2} \lambda} \tau},\tag{13}\]

и время плавления слоя льда

\[\tau=\frac{\rho_{1}^{2} \lambda h_{0}^{2}}{2 \beta_{0} t_{1} \rho_{0}} \approx 1{,}9 \cdot 10^{6}\,\text{с} \approx 22 \text{ суток}.\tag{14}\]

5. Так как нагрев воды осуществляется снизу, то благодаря конвекции, происходит ее быстрое перемешивание, поэтому можно считать, что температура воды одинакова во всех точках, обозначим эту температуру \(t\). В такой ситуации теплота, поступающая от нагретой плиты, расходуется на плавление льда и нагрев образующейся талой воды. Уравнения теплового баланса для малого промежутка времени \(\Delta \tau\) в этом случае имеют вид (\(\Delta x\) - по-прежнему изменение толщины льда за этот промежуток времени)

\[\begin{aligned} & \gamma\left(t_{1}-t\right) S \Delta \tau=\gamma\left(t-t_{0}\right) S \Delta \tau+c_{0} \rho_{1} S \Delta x\left(t-t_{0}\right), \\ & \gamma\left(t-t_{0}\right) S \Delta \tau=\lambda \rho_{1} S \Delta x. \end{aligned}\tag{15}\]

Избавляясь от скорости плавления \(\frac{\Delta x}{\Delta \tau}\), получим уравнение для определения температуры воды

\[t^{2}+2 \frac{\lambda}{c_{0}} t-\frac{\lambda}{c_{0}} t_{1}=0,\]

из которого находим температуру воды \(t=\sqrt{\left(\frac{\lambda}{c_{0}}\right)^{2}+\frac{\lambda}{c_{0}} t_{1}}-\frac{\lambda}{c_{0}} \approx 4{,}85^{\circ} \mathrm{C}\), которая оказывается постоянной. Следовательно, и скорость плавления льда также постоянна

\[\frac{\Delta x}{\Delta \tau}=\frac{\gamma t}{\lambda \rho_{1}}.\tag{17}\]

Поэтому толщина льда будет изменяться по линейному закону

\[x=h_{0}-\frac{\gamma t}{\lambda \rho_{1}} \tau,\tag{18}\]

а время плавления рассчитывается по формуле

\[\tau=\frac{\lambda \rho_{1}}{\gamma t} h_{0} \approx 1{,}5 \cdot 10^{4} c \approx 4{,}3 \text{ часа}.\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.