Вода в медном калориметре

Переберите возможные конечные состояния: весь лёд растаял; вся вода замёрзла; при \(0\,^\circ\)C тает часть льда; при \(0\,^\circ\)C замерзает часть воды. Физический смысл имеет только то решение, которое удовлетворяет своему условию.

Используем следующие обозначения:

\(t\) — температура конечного равновесного состояния,

\(t_0 = 0\,^\circ\)C — температура плавления льда при нормальном давлении,

\(M_2\) — конечная масса воды,

\(M_3\) — конечная масса льда,

\(m_2' \le m_2\) — масса воды, которая замерзает,

\(m_3' \le m_3\) — масса льда, который тает.

а) В общем случае возможны четыре процесса и соответствующие им равновесные состояния.

1. \(t_0 < t < t_2\), \(m_2' = 0\), \(m_3' = m_3\), \(M_2 = m_2 + m_3\), \(M_3 = 0\). Неизвестную конечную температуру \(t\) можно найти из уравнения \[(m_1c_1 + m_2c_2)(t_2 - t) = m_3c_3(t_0 - t_3) + m_3l + m_3c_2(t - t_0). \qquad (7)\] Однако физический смысл имеет только решение, удовлетворяющее условию \(t_0 < t < t_2\).

2. \(t_3 < t < t_0\), \(m_2' = m_2\), \(m_3' = 0\), \(M_2 = 0\), \(M_3 = m_2 + m_3\). Неизвестную конечную температуру \(t\) можно найти из уравнения \[m_1c_1(t_2 - t) + m_2c_2(t_2 - t_0) + m_2l + m_2c_3(t_0 - t) = m_3c_3(t - t_3). \qquad (8)\] Однако физический смысл имеет только решение, удовлетворяющее условию \(t_3 < t < t_0\).

3. \(t = t_0\), \(m_2' = 0\), \(0 \le m_3' \le m_3\), \(M_2 = m_2 + m_3'\), \(M_3 = m_3 - m_3'\). Неизвестную массу \(m_3'\) можно вычислить из уравнения \[(m_1c_1 + m_2c_2)(t_2 - t_0) = m_3c_3(t - t_3) + m_3'l. \qquad (9)\] Однако физический смысл имеет только решение, удовлетворяющее условию \(0 \le m_3' \le m_3\).

4. \(t = t_0\), \(0 \le m_2' \le m_2\), \(m_3' = 0\), \(M_2 = m_2 - m_2'\), \(M_3 = m_3 + m_2'\). Неизвестную массу \(m_2'\) можно вычислить из уравнения \[(m_1c_1 + m_2c_2)(t_2 - t_0) + m_2'l = m_3c_3(t_0 - t_3). \qquad (10)\] Однако физический смысл имеет только решение, удовлетворяющее условию \(0 \le m_2' \le m_2\).

б) Подставляя конкретные значения \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\), \(t_2\) и \(t_3\) в уравнения (7), (8) и (9), получаем решения, не имеющие физического смысла (не удовлетворяющие указанным выше условиям для \(t\) и соответственно \(m_3'\)). Реальный физический процесс при заданных условиях описывается уравнением (10), из которого следует \[m_2' = \frac{m_3c_3(t_0 - t_3) - (m_1c_1 + m_2c_2)(t_2 - t_0)}{l}.\] Подставляя заданные численные значения, получаем \(m_2' = 0{,}11\) кг. Следовательно, \(t = 0\,^\circ\)C, \(M_2 = m_2 - m_2' = 0{,}89\) кг, \(M_3 = m_3 + m_2' = 2{,}11\) кг.