Остывание расплава

Вещество медленно теряет тепло в окружающую среду; мощность потерь можно считать постоянной. Тогда выделенное тепло пропорционально времени, и энергию любого участка графика можно выразить через его длительность.

\(c_{\text{ж}}\approx8\text{ кДж/(кг·К)}\), \(c_{\text{тв}}\approx19\text{ кДж/(кг·К)}\) (точность около \(15\,\%\)).

Что происходит. Калориметр медленно отдаёт тепло окружающей среде. Сначала остывает жидкость, потом при постоянной температуре \(55\,^\circ\text{C}\) идёт кристаллизация (температура не меняется, пока всё вещество не затвердеет), затем остывает твёрдое вещество. Температура за опыт меняется всего на \(6\,^\circ\text{C}\), поэтому мощность теплопотерь \(P\) считаем постоянной. Тогда за любое время \(\Delta\tau\) вещество отдаёт \(P\,\Delta\tau\), и по длительности участков графика можно сравнивать энергии.

Обозначения. \(m\) — масса вещества, \(\lambda=200\text{ кДж/кг}\), \(c_{\text{ж}}\) и \(c_{\text{тв}}\) — искомые удельные теплоёмкости, \(\Delta\tau\) — длительность участка, \(\Delta t\) — изменение температуры на участке (рисунок).

1. Данные с графика. Масштаб: 1 минута — 5 клеток по горизонтали, \(1\,^\circ\text{C}\) — 1 клетка по вертикали. Жидкость остывает от \(57{,}6\,^\circ\text{C}\) до \(55\,^\circ\text{C}\) за \(\Delta\tau_{\text{ж}}\approx0{,}5\text{ мин}\) (\(\Delta t_{\text{ж}}\approx2{,}6\,^\circ\text{C}\)). Плато (плавление) длится от \(1{,}5\) до \(6{,}3\text{ мин}\), \(\Delta\tau_{\text{пл}}\approx4{,}8\text{ мин}\). Твёрдое остывает от \(55\,^\circ\text{C}\) до \(52{,}2\,^\circ\text{C}\) за \(\Delta\tau_{\text{тв}}\approx1{,}3\text{ мин}\) (\(\Delta t_{\text{тв}}\approx2{,}8\,^\circ\text{C}\)).

2. Три баланса энергии. Энергия, отданная веществом, равна \(P\,\Delta\tau\) на каждом участке: при остывании жидкости это \(mc_{\text{ж}}\Delta t_{\text{ж}}\), при кристаллизации — \(m\lambda\) (температура не меняется), при остывании твёрдого — \(mc_{\text{тв}}\Delta t_{\text{тв}}\): \[mc_{\text{ж}}\Delta t_{\text{ж}}=P\,\Delta\tau_{\text{ж}},\qquad m\lambda=P\,\Delta\tau_{\text{пл}},\qquad mc_{\text{тв}}\Delta t_{\text{тв}}=P\,\Delta\tau_{\text{тв}} .\] Мощность \(P\) и масса \(m\) неизвестны, но разделим первое и третье уравнения на второе — они сократятся: \[c_{\text{ж}}=\lambda\,\frac{\Delta\tau_{\text{ж}}}{\Delta t_{\text{ж}}\,\Delta\tau_{\text{пл}}},\qquad c_{\text{тв}}=\lambda\,\frac{\Delta\tau_{\text{тв}}}{\Delta t_{\text{тв}}\,\Delta\tau_{\text{пл}}} .\]

3. Числа. \[c_{\text{ж}}=200\text{ кДж/кг}\cdot\frac{0{,}5\text{ мин}}{2{,}6\text{ К}\cdot4{,}8\text{ мин}}\approx8\text{ кДж/(кг·К)},\qquad c_{\text{тв}}=200\text{ кДж/кг}\cdot\frac{1{,}3\text{ мин}}{2{,}8\text{ К}\cdot4{,}8\text{ мин}}\approx19\text{ кДж/(кг·К)}.\] Обратите внимание: теплопотери считаем постоянными, хотя температура меняется; поправку дали бы температура окружающей среды и закон охлаждения, но их нет в условии. Погрешность при таком чтении графика — около \(15\,\%\).

Проверка. Размерность: \(\text{кДж/кг}\cdot\text{мин}/(\text{К}\cdot\text{мин})=\text{кДж/(кг·К)}\). Второй способ: из плато мощность на единицу массы равна \(\lambda/\Delta\tau_{\text{пл}}=200/4{,}8\approx42\text{ кДж/(кг·мин)}\); жидкость за \(0{,}5\text{ мин}\) при \(8\text{ кДж/(кг·К)}\) отдаёт \(8\cdot2{,}6=21\text{ кДж/кг}\), то есть те же \(42\text{ кДж/(кг·мин)}\), а твёрдое — \(19\cdot2{,}8/1{,}3\approx41\). Физический смысл: чем медленнее остывает участок при той же мощности потерь, тем больше его теплоёмкость.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.