Лёд в ведре

Пока в ведре есть лёд, температура смеси остаётся \(0\,{}^\circ\text{C}\) — вся полученная теплота идёт на плавление. Когда лёд растаял, та же мощность греет воду, и по наклону графика эту мощность можно найти.

\(m_{\text{л}}\approx1{,}2\) кг.

Что происходит. Комната передаёт ведру теплоту. Пока в ведре есть лёд, смесь остаётся при температуре плавления, и вся теплота идёт на плавление; на графике — горизонтальный участок от \(t=0\) до \(t_1=50\) мин. Когда лёд растаял, в ведре только вода массой \(M=10\) кг, и та же теплота нагревает её: график идёт вверх. Главная идея: тепловая мощность \(P\) постоянна, находим её по нагреву воды и затем применяем к таянию.

Обозначения. \(M=10\) кг — масса смеси (после таяния — масса воды), \(m_{\text{л}}\) — искомая масса льда, \(P\) — мощность теплообмена, \(t_1=50\) мин \(=3000\) с — время таяния.

1. Мощность по нагреву воды. На участке после \(t_1\) вся смесь — вода. За малое время \(dt\) она получает \(P\,dt=Mc\,dT\). Из графика температура растёт на \(2\,{}^\circ\text{C}\) за 10 мин, то есть \(\dfrac{dT}{dt}=\dfrac{2\text{ К}}{600\text{ с}}=\dfrac1{300}\text{ К/с}\): \[P=Mc\,\frac{dT}{dt}=10\cdot4200\cdot\frac1{300}\text{ Вт}=140\text{ Вт}.\] Прямая на графике означает, что \(P\) постоянна.

2. Теплота на плавление. Пока температура \(0\,{}^\circ\text{C}\), теплота идёт только на плавление льда; закон сохранения энергии для смеси за время \(t_1\): \(Pt_1=\lambda m_{\text{л}}\). Отсюда \[m_{\text{л}}=\frac{Pt_1}{\lambda}=\frac{Mc\,\frac{dT}{dt}\,t_1}{\lambda}=\frac{140\cdot3000}{3{,}4\cdot10^5}\text{ кг}\approx1{,}2\text{ кг}.\] Обратите внимание: график после \(50\) мин идёт по прямой, значит, поток теплоты практически не менялся и пока ведро было при \(0\,{}^\circ\text{C}\): оценка по «такой же мощности» оправдана. Теплоёмкость ведра не учитываем по условию.

Ответ: \(m_{\text{л}}=\dfrac{Mc\,(dT/dt)\,t_1}{\lambda}\approx1{,}2\) кг.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{кг}\cdot\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\cdot\text{К/с}\cdot\text{с}}{\text{Дж/кг}}=\text{кг}\). Второй способ: за 50 мин при мощности \(P\) ведро получает \(Pt_1=4{,}2\cdot10^5\) Дж; это теплота плавления \(\lambda m_{\text{л}}\) при \(m_{\text{л}}=\dfrac{4{,}2\cdot10^5}{3{,}4\cdot10^5}\approx1{,}2\) кг, и она же нагрела бы 10 кг воды на 10 К. Знак: чем быстрее растёт температура воды, тем больше \(P\) и тем больше льда успело растаять за те же 50 мин — ответ растёт с \(dT/dt\), как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.