Нулевой ток через резистор

Если ток через \(R_1\) равен нулю, то напряжение на нём тоже нуль. Найдите тогда напряжение на \(R_3\) и ток через \(R_2\).

\(\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{R_3}{R_2+R_3}\), то есть \(U_1=U_2\,\dfrac{R_3}{R_2+R_3}\) (и \(U_1<U_2\)); от \(R_1\) результат не зависит.

Что происходит. Левый источник даёт напряжение \(U_1\), правый — \(U_2\), средний резистор \(R_3\) общий. Ток через \(R_1\) нулевой, если потенциалы его концов совпадают: потенциал левой клеммы «\(+\)» равен \(U_1\) (за ноль принят нижний общий провод), значит, потенциал узла \(M\) тоже должен быть равен \(U_1\). Главная идея: при \(I_1=0\) левый источник «не работает», и цепь сводится к делителю напряжения из \(R_2\) и \(R_3\).

Обозначения. \(M\) — узел, где сходятся \(R_1\), \(R_2\) и \(R_3\); \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) — токи через \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) (ток \(I_2\) — от правого источника к узлу, \(I_3\) — вниз через \(R_3\)); потенциал нижнего провода принят за ноль.

1. Напряжение на \(R_1\). По закону Ома для резистора \(R_1\): \(U_{R_1}=I_1R_1=0\). Следовательно, потенциал узла \(M\) равен потенциалу верхней клеммы левого источника, то есть \(\varphi_M=U_1\).

2. Токи через \(R_2\) и \(R_3\). Закон Ома для \(R_3\): \(I_3=\dfrac{\varphi_M}{R_3}=\dfrac{U_1}{R_3}\). Для \(R_2\): на нём напряжение \(U_2-\varphi_M=U_2-U_1\), поэтому \(I_2=\dfrac{U_2-U_1}{R_2}\).

3. Закон сохранения заряда в узле \(M\). Заряды в узле не накапливаются: \(I_2=I_1+I_3\), при \(I_1=0\) имеем \(I_2=I_3\): \[\frac{U_2-U_1}{R_2}=\frac{U_1}{R_3}\quad\Rightarrow\quad U_1=U_2\,\frac{R_3}{R_2+R_3}.\] Обратите внимание: сопротивление \(R_1\) в ответ не вошло: пока ток через него нулевой, оно ничего не определяет.

Ответ: \(\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{R_3}{R_2+R_3}\). Тогда \(U_1<U_2\), а на \(R_1\) напряжения нет.

Проверка. Предел: \(R_3\to\infty\) (нет пути вниз) — получаем \(U_1=U_2\): два одинаково включённых источника не создают тока ни в \(R_1\), ни в \(R_2\). Другой предел: \(R_3\to0\) — \(U_1\to0\): узел \(M\) соединён с нижним проводом, потенциал узла равен нулю, и ток \(R_1\) нулевой только при \(U_1=0\). Второй способ: схема из \(U_2\), \(R_2\), \(R_3\) — делитель напряжения; напряжение на \(R_3\) равно \(U_2R_3/(R_2+R_3)\) и должно совпасть с \(U_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.