Капля на стекле

Сила сопротивления растёт со скоростью, и у падения с постоянной скоростью она уравновешивает силу тяжести. Два момента с известным ускорением позволят найти коэффициент сопротивления, а значит, установившуюся скорость. След на стекле лежит вдоль скорости капли относительно автомобиля.

Скорость установившегося падения \(v_{\text{уст}}=15\) м/с, скорость автомобиля \(v_{\text{а}}=15\) м/с \(=54\) км/ч \(<60\) км/ч, поэтому инспектор не оштрафует водителя.

Что происходит. На каплю действуют сила тяжести \(m\vec g\) вниз и сила сопротивления воздуха \(\vec F_{\text{с}}=k\vec v\) вверх, направленная против скорости, \(F_{\text{с}}=kv\). Пока капля разгоняется, \(F_{\text{с}}<mg\) и ускорение \(a>0\) направлено вниз; когда \(kv=mg\), ускорение равно нулю и скорость перестаёт расти. Затем скорость капли относительно земли складывается со скоростью автомобиля, и след на стекле идёт вдоль относительной скорости. Главная идея: из одного момента с известными \(a\) и \(v_1\) найти \(k/m\), а по нему — установившуюся скорость.

Обозначения. Ось \(y\) — вверх, \(g=10\) м/с\(^2\); \(v_1=7{,}5\) м/с и \(a_1=5\) м/с\(^2\) — данные момента; \(v_{\text{уст}}\) — установившаяся скорость падения; \(v_{\text{а}}\) — скорость автомобиля.

1. Второй закон Ньютона для капли в момент \(v_1\). Капля движется вниз с ускорением \(a_1\), направленным вниз. В проекции на ось \(y\) (вверх): \[kv_1-mg=-ma_1\quad\Rightarrow\quad \frac{k}{m}=\frac{g-a_1}{v_1}=\frac{10-5}{7{,}5}\ \text{с}^{-1}=\frac23\ \text{с}^{-1}.\] Формула \(F_{\text{с}}=kv\) дана в условии, поэтому \(k/m\) — постоянная величина на всём падении.

2. Установившаяся скорость. Вблизи земли скорость постоянна, ускорение равно нулю, второй закон Ньютона: \(kv_{\text{уст}}=mg\). Отсюда \[v_{\text{уст}}=\frac{g}{k/m}=\frac{gv_1}{g-a_1}=\frac{10\cdot7{,}5}{5}\ \text{м/с}=15\ \text{м/с}.\] Обратите внимание: значение \(g=10\) м/с\(^2\) взято округлённым; при \(g=9{,}8\) м/с\(^2\) получилось бы \(v_{\text{уст}}\approx15{,}3\) м/с, ответ (\(\approx55\) км/ч) тот же по существу.

3. Скорость автомобиля. Ветра нет, поэтому относительно земли капля падает вертикально со скоростью \(v_{\text{уст}}\). Относительно автомобиля скорость капли \(\vec v_{\text{отн}}=\vec v_{\text{к}}-\vec v_{\text{а}}\): вниз со скоростью \(v_{\text{уст}}\) и назад со скоростью \(v_{\text{а}}\). Капля прилипает к боковому (вертикальному) стеклу, её след идёт вдоль \(\vec v_{\text{отн}}\) и составляет с вертикалью угол \(45^\circ\): \[\operatorname{tg}45^\circ=\frac{v_{\text{а}}}{v_{\text{уст}}}\quad\Rightarrow\quad v_{\text{а}}=v_{\text{уст}}=15\ \text{м/с}=54\ \text{км/ч}.\]

Ответ: \(v_{\text{уст}}=\dfrac{gv_1}{g-a_1}=15\) м/с; \(v_{\text{а}}=v_{\text{уст}}\operatorname{tg}45^\circ=15\) м/с \(=54\) км/ч \(<60\) км/ч — нарушения нет.

Проверка. Размерность \(\dfrac{gv_1}{g-a_1}\) — м/с. Подстановка: ускорение в момент скорости \(v\) равно \(a=g\left(1-\dfrac{v}{v_{\text{уст}}}\right)\); при \(v_1=7{,}5\) м/с имеем \(a=10\left(1-\dfrac12\right)=5\) м/с\(^2\), как в условии. Пределы: при \(v=0\) получаем \(a=g\), при \(v=v_{\text{уст}}\) получаем \(a=0\). Для перевода \(15\ \text{м/с}\cdot3{,}6=54\ \text{км/ч}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.