Капля и инспектор

У земли капля падает равномерно: сила сопротивления уравновешивает силу тяжести. Запишите второй закон Ньютона для капли в заданный момент и для равномерного падения и разделите одно уравнение на другое.

Скорость равномерного падения \(v_{\text{пр}}=40\) м/с; скорость автомобиля \(u=v_{\text{пр}}\operatorname{tg}30^\circ\approx23\) м/с \(\approx83\) км/ч \(>60\) км/ч — да, оштрафует.

Что происходит. Капля падает с ускорением, пока растёт скорость и сила сопротивления воздуха; у земли сила сопротивления равна силе тяжести, и капля летит равномерно со скоростью \(v_{\text{пр}}\). Скорость автомобиля находим по следу на стекле: в системе автомобиля капля летит вниз со скоростью \(v_{\text{пр}}\) и назад со скоростью автомобиля.

Обозначения. \(m\) — масса капли, \(F_{\text{с}}=kv^2\) — сила сопротивления, \(k\) — постоянная, \(v=20\) м/с и \(a=7{,}5\) м/с\(^2\) — данные условия, \(u\) — скорость автомобиля. Ось \(y\) направлена вниз. Принимаем \(g=10\) м/с\(^2\).

1. Заданный момент. Второй закон Ньютона для капли в проекции на ось \(y\): на неё действуют сила тяжести вниз и сила сопротивления вверх, масса остаётся постоянной: \[ma=mg-kv^2 .\]

2. Равномерное падение. Ускорение равно нулю, сила сопротивления равна силе тяжести: \[0=mg-kv_{\text{пр}}^2\quad\Rightarrow\quad k=\frac{mg}{v_{\text{пр}}^2}.\]

3. Скорость \(v_{\text{пр}}\). Подставим \(k\) в уравнение пункта 1 и сократим \(m\): \[a=g\Bigl(1-\frac{v^2}{v_{\text{пр}}^2}\Bigr)\quad\Rightarrow\quad v_{\text{пр}}=\frac{v}{\sqrt{1-a/g}}=\frac{20}{\sqrt{1-0{,}75}}\text{ м/с}=40\text{ м/с}.\]

4. Скорость автомобиля. Ветра нет, поэтому относительно земли капля у земли движется вертикально вниз со скоростью \(v_{\text{пр}}\). Автомобиль едет горизонтально со скоростью \(u\). Закон сложения скоростей: скорость капли относительно автомобиля \[\vec v_{\text{отн}}=\vec v_{\text{пр}}+(-\vec u).\] Вертикальная составляющая \(v_{\text{пр}}\), горизонтальная \(u\) (назад). След на стекле идёт вдоль \(\vec v_{\text{отн}}\) под углом \(\alpha=30^\circ\) к вертикали: \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{u}{v_{\text{пр}}}\quad\Rightarrow\quad u=v_{\text{пр}}\operatorname{tg}30^\circ=\frac{40}{\sqrt3}\text{ м/с}\approx23\text{ м/с}\approx83\text{ км/ч}.\]

Обратите внимание: след капли определяется её скоростью относительно стекла, а не относительно земли. Угол \(30^\circ\) с вертикалью получился именно из-за движения автомобиля: на неподвижном стекле след был бы вертикальным.

Ответ. \(v_{\text{пр}}=40\) м/с, \(u\approx23\) м/с \(\approx83\) км/ч. Это больше разрешённых 60 км/ч, штраф будет.

Проверка. Подставим найденное \(v_{\text{пр}}\) обратно: \(a=10\,(1-20^2/40^2)=7{,}5\) м/с\(^2\) — условие выполнено. Предел: если \(a\to0\), то \(v_{\text{пр}}\to v\), то есть капля уже падает равномерно. При \(g=9{,}8\) м/с\(^2\) выходит \(v_{\text{пр}}\approx41\) м/с и \(u\approx86\) км/ч — вывод тот же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.