Возвращение на корабль

Вокруг пустота, и пар, вылетающий со льда, не возвращается: он уносит импульс, и стакан получает реактивную силу. Поток импульса вылетающих молекул — это половина давления насыщенного пара у поверхности льда.

Способ реален: при площади льда \(S=20\) см\(^2\) реактивная сила \(F=p_{\text{н}}S/2\approx0{,}55\) Н, ускорение \(a\approx5{,}5\cdot10^{-3}\) м/с\(^2\), время \(t=2\sqrt{l/a}\approx270\) с \(\approx4{,}5\) мин (с торможением; без торможения \(\approx190\) с и скорость у корабля \(\approx1\) м/с). Расход льда \(\approx0{,}3\) кг.

Что происходит. В вакууме лёд испаряется, и молекулы пара улетают от поверхности и не возвращаются. Они уносят импульс, поэтому по закону сохранения импульса (третьему закону Ньютона) стакан со льдом, а с ним астронавт, получают толчок в обратную сторону. Если стакан держать открытой стороной от корабля, тяга направлена к кораблю. Это реактивный двигатель, рабочее тело которого — водяной пар. Главная идея: найти силу отдачи через давление насыщенного пара, а время — из равноускоренного движения.

Обозначения и модель. Площадь поверхности льда принимаем \(S=20\) см\(^2\) (\(=2\cdot10^{-3}\) м\(^2\), стакан диаметром 5 см); масса астронавта со снаряжением \(M=100\) кг, масса льда в стакане порядка \(0{,}5\) кг — её изменением пренебрегаем; молярная масса воды \(\mu=0{,}018\) кг/моль. Лёд — плоская поверхность, пар сразу улетает в пустоту.

1. Давление отдачи. У поверхности льда в замкнутом сосуде пар насыщен, давление \(p_{\text{н}}\) создают молекулы, летящие к поверхности, и молекулы, улетающие от неё; поток импульса у них одинаковый, каждый вклад равен \(p_{\text{н}}/2\). В вакууме падающих молекул нет, остаются только улетающие, поэтому давление отдачи на поверхность льда \[p_{\text{отд}}=\frac{p_{\text{н}}}{2}=275\text{ Па}.\]

2. Сила. Закон сохранения импульса для системы лёд + астронавт + улетевший пар: пар уносит импульс за секунду \(p_{\text{отд}}S\), значит, на стакан действует сила такой же величины в обратную сторону: \[F=\frac{p_{\text{н}}S}{2}=\frac{550\cdot2\cdot10^{-3}}{2}\text{ Н}=0{,}55\text{ Н}.\]

3. Ускорение. Второй закон Ньютона для астронавта со стаканом в проекции на ось к кораблю (других сил нет): \[a=\frac FM=\frac{0{,}55}{100}\text{ м/с}^2=5{,}5\cdot10^{-3}\text{ м/с}^2 .\]

4. Время. Начальная скорость равна нулю. Чтобы не удариться о корабль, первую половину пути астронавт разгоняется, на середине разворачивает стакан и вторую половину тормозит с тем же по модулю ускорением. Половина пути: \(l/2=at_1^2/2\), откуда \(t_1=\sqrt{l/a}\); полное время \[t=2t_1=2\sqrt{\frac la}=2\sqrt{\frac{100}{5{,}5\cdot10^{-3}}}\text{ с}\approx270\text{ с}\approx4{,}5\text{ мин}.\] Наибольшая скорость \(v_{\max}=at_1\approx0{,}74\) м/с.

Если не тормозить, то \(t=\sqrt{2l/a}\approx190\) с, скорость у корабля \(\sqrt{2al}\approx1\) м/с — спокойное касание, тоже допустимо.

5. Хватит ли льда. Масса пара, улетающего с единицы площади льда за секунду, равна \(\rho\bar v/4\), где \(\rho=\dfrac{p_{\text{н}}\mu}{RT}=\dfrac{550\cdot0{,}018}{8{,}3\cdot272}\approx4{,}4\cdot10^{-3}\) кг/м\(^3\) — плотность насыщенного пара, а \(\bar v=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi\mu}}=\sqrt{\dfrac{8\cdot8{,}3\cdot272}{\pi\cdot0{,}018}}\approx565\) м/с — средняя скорость его молекул. Расход массы \[\dot m=\frac{\rho\bar vS}{4}=\frac{4{,}4\cdot10^{-3}\cdot565\cdot2\cdot10^{-3}}{4}\text{ кг/с}\approx1{,}2\cdot10^{-3}\text{ кг/с},\] за 270 с уходит \(\approx0{,}33\) кг льда. Масса порядка стакана льда, то есть \(\approx0{,}3\) кг, достаточна, и она много меньше \(M\), как и принято в пункте 3.

Обратите внимание: давление отдачи равно \(p_{\text{н}}/2\), а не \(p_{\text{н}}\): вторая половина давления насыщенного пара в замкнутом сосуде — импульс молекул, возвращающихся на лёд, а в вакууме их нет. Ещё одно замечание по модели: по условию температура льда постоянна, то есть сублимации подводится теплота (при расходе \(1{,}2\cdot10^{-3}\) кг/с — около 3,5 кВт при теплоте сублимации порядка 3 МДж/кг), которую астронавт берёт у окружающей среды; без подвода теплоты лёд остыл бы, а давление пара и сила упали бы.

Ответ. Способ реален: \(F\approx0{,}55\) Н, \(a\approx5{,}5\cdot10^{-3}\) м/с\(^2\), время возвращения порядка \(3\)–\(5\) минут (\(\approx4{,}5\) мин с торможением, \(\approx3\) мин без него), расход льда \(\approx0{,}3\) кг.

Проверка. Размерность: \(p_{\text{н}}S\) — Па\(\cdot\)м\(^2\) = Н; \(\sqrt{l/a}\) — \(\sqrt{\text{м}/(\text{м/с}^2)}\) = с. Второй способ: скорость истечения пара \(F/\dot m=0{,}55/1{,}2\cdot10^{-3}\approx440\) м/с — порядок средней тепловой скорости молекул (565 м/с), как и должно быть у вылетающих молекул. Чувствительность: площадь льда вдвое больше — время меньше в \(\sqrt2\) раза; порядок — минуты — сохраняется.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.