Стабилизация напряжения диодом

Подсказка

Резисторы и диод соединены последовательно, ток в них один. Запишите уравнение контура и постройте на графике диода «нагрузочную прямую»: точка пересечения даёт ток и напряжение на диоде.

Ответ

При \(t=25^\circ\)C: \(I\approx1{,}0\) мА, \(U_{AB}\approx1{,}0\) В. При изменении температуры от \(-60^\circ\)C до \(125^\circ\)C напряжение \(U_{AB}\) меняется лишь от \(0{,}94\) до \(\approx1{,}07\) В (в среднем \(\approx+0{,}7\) мВ/К), хотя напряжение источника — от 3,9 до 8,5 В: \(U_{AB}\approx1{,}01\text{ В}+0{,}7\text{ мВ/К}\cdot(t-25^\circ\text{C})\).

Решение

Что происходит. Диод и резистор \(R_2=0{,}2\) кОм включены последовательно с резистором \(R_1=5\) кОм, ток один и тот же. Напряжение \(U_{AB}\) снимается с диода и \(R_2\) вместе. Когда температура растёт, при том же токе напряжение на диоде падает, а напряжение источника растёт; последнее увеличивает ток, и на \(R_2\) напряжение прибавляется. Эти изменения почти гасят друг друга, поэтому \(U_{AB}\) мало зависит от температуры. Главная идея: найти рабочую точку диода пересечением его характеристики с нагрузочной прямой, для каждой температуры.

Обозначения. \(R_1=5\) кОм, \(R_2=0{,}2\) кОм, \(U_D\) — напряжение на диоде, \(I\) — ток цепи, \(U(t)\) — напряжение источника.

1. Нагрузочная прямая. Правило Кирхгофа для контура источник — \(R_1\) — диод — \(R_2\) (ток один, сопротивление источника не учитываем): \[U=IR_1+U_D+IR_2\quad\Rightarrow\quad U_D=U-(R_1+R_2)\,I=6\text{ В}-5{,}2\text{ кОм}\cdot I .\] Это прямая в осях \((U_D,I)\); для построения возьмём две точки на графике: \(I=0{,}9\) мА — \(U_D=1{,}32\) В, \(I=1{,}1\) мА — \(U_D=0{,}28\) В (в окне графика видна её часть). Ток и напряжение на диоде удовлетворяют и характеристике диода, и этой прямой: рабочая точка — их пересечение. Характеристику берём для \(25^\circ\)C.

Из графика: \(I\approx1{,}0\) мА, \(U_D\approx0{,}81\) В.

2. Напряжение между A и Б. Зажимы подключены к диоду и \(R_2\) (не к \(R_1\)): \[U_{AB}=U_D+IR_2=0{,}81\text{ В}+1{,}0\text{ мА}\cdot0{,}2\text{ кОм}=0{,}81+0{,}20=1{,}01\text{ В}\approx1{,}0\text{ В}.\]

3. Другие температуры. Напряжение источника при \(t\): \(U(t)=6\text{ В}+25\cdot10^{-3}\text{ В/К}\cdot(t-25^\circ)\), то есть \(U(125^\circ)=8{,}5\) В, \(U(-60^\circ)=3{,}875\approx3{,}9\) В. Для каждой температуры строим свою нагрузочную прямую \(U_D=U(t)-5{,}2\text{ кОм}\cdot I\) и ищем пересечение с характеристикой при этой температуре:

Для \(125^\circ\)C точка лежит чуть правее конца графика, значение получено продолжением кривой.

Напряжение источника меняется в \(2{,}2\) раза (на \(4{,}6\) В), а \(U_{AB}\) — всего на \(0{,}13\) В (около \(12\,\%\)): в среднем \(\Delta U_{AB}/\Delta t\approx0{,}13\text{ В}/185\text{ К}\approx0{,}7\) мВ/К.

Обратите внимание: в нагрузочную прямую входит сумма \(R_1+R_2\), потому что оба резистора стоят последовательно с диодом, а напряжение \(U_{AB}\) включает только \(R_2\) и диод. Зависимость слабая и плавно растёт, а не постоянна: диод даёт \(-1{,}5\) мВ/К, источник через \(R_1\) — плюс, и они не гасятся полностью.

Ответ. При \(25^\circ\)C \(U_{AB}\approx1{,}0\) В; при росте температуры от \(-60^\circ\)C до \(125^\circ\)C напряжение медленно растёт от \(0{,}94\) до \(\approx1{,}07\) В, около \(+0{,}7\) мВ/К, то есть почти не зависит от температуры.

Проверка. Второй способ, аналитический. Пусть \(\beta=\left(\dfrac{\partial U_D}{\partial T}\right)_I\approx\dfrac{0{,}65-0{,}94}{185}\text{ В/К}\approx-1{,}5\) мВ/К (по графику при \(I=1\) мА), \(r=\dfrac{dU_D}{dI}\approx0{,}27\) кОм (наклон характеристики при \(25^\circ\)C), \(\alpha=25\) мВ/К. Из \(U_{AB}=U_D(I,T)+IR_2\) и \(I=(U-U_{AB})/R_1\) дифференцированием по температуре: \[\frac{dU_{AB}}{dT}=\beta+(r+R_2)\frac{dI}{dT},\qquad \frac{dI}{dT}=\frac{\alpha-dU_{AB}/dT}{R_1}.\] Отсюда \[\frac{dU_{AB}}{dT}=\frac{\beta+(r+R_2)\,\alpha/R_1}{1+(r+R_2)/R_1}\approx\frac{-1{,}5+2{,}35}{1{,}09}\text{ мВ/К}\approx+0{,}7\text{ мВ/К}.\] Совпало с оценкой по графику. Полная компенсация была бы при \(r+R_2=-\beta R_1/\alpha\approx0{,}3\) кОм, здесь \(0{,}47\) кОм — небольшой остаточный рост. Размерность: кОм\(\cdot\)мА = В.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.