Расплывающийся пучок электронов

Пучок — плоский заряженный слой, поле у него только поперёк слоя. Найдите по теореме Гаусса силу на электрон и посмотрите, меняется ли она при расширении пучка.

\(x=v\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_0}{ne^2}}\approx2{,}5\cdot10^{-2}\) м \(=2{,}5\) см; не зависит от толщины щели.

Что происходит. Электроны отталкиваются друг от друга, и пучок расширяется поперёк. Пучок тонкий и широкий, поэтому он ведёт себя как бесконечный плоский слой с равномерной объёмной плотностью заряда: поле направлено поперёк слоя и зависит только от поперечной координаты. Продольная скорость \(v\) не меняется (сил вдоль пучка нет, магнитная сила в \(v^2/c^2\sim10^{-11}\) раз меньше электрической), поэтому расстояние от щели \(x=vt\), где \(t\) — время, за которое пучок расширился вдвое. Главная идея: теорема Гаусса даёт постоянную силу на каждый электрон, значит, поперечное движение — равноускоренное.

Обозначения. Ось \(y\) — поперёк пучка, \(y=0\) на его средней плоскости; толщина щели \(d=2h_0\), электрон вылетает с координатой \(y_0\in[-h_0,h_0]\); \(n\) — начальная концентрация, \(-e\) — заряд электрона.

1. Поле в пучке. Теорема Гаусса для цилиндра с основаниями площадью \(\Delta S\) на симметричных высотах \(\pm y\) (поле перпендикулярно слою и по симметрии одинаково по модулю на обоих основаниях): внутри заряд \(-e\,n_y\,2y\,\Delta S\), где \(n_y\) — концентрация в слое. Поэтому \[2E\,\Delta S=\frac{e\,n_y\,2y\,\Delta S}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{e\,n_yy}{\varepsilon_0}.\] Электроны не обгоняют друг друга, поэтому число зарядов между средней плоскостью и данным электроном не меняется: \(n_yy=ny_0\) (для электрона, начавшего с \(y_0\)) — слой растёт, а концентрация падает так, что произведение постоянно. Значит, поле на этом электроне \(E=eny_0/\varepsilon_0\) — постоянно во времени.

2. Движение электрона. Второй закон Ньютона для электрона в проекции на ось \(y\) (вдоль пучка сил нет): сила отталкивания направлена от средней плоскости, равна \(eE\) и постоянна: \[ma_y=eE=\frac{e^2ny_0}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad a_y=\omega^2y_0,\qquad \omega^2=\frac{e^2n}{m\varepsilon_0}.\] Поперечная скорость в начале равна нулю, движение равноускоренное: \[y=y_0+\frac{a_yt^2}{2}=y_0\Bigl(1+\frac{\omega^2t^2}{2}\Bigr).\] Все электроны смещаются с одним множителем \(1+\omega^2t^2/2\): электроны не обгоняют друг друга, как и предполагалось, а концентрация остаётся равномерной по сечению. Толщина пучка растёт в тот же множитель раз.

3. Удвоение толщины. В момент \(t_1\): \[1+\frac{\omega^2t_1^2}{2}=2\quad\Rightarrow\quad t_1=\frac{\sqrt2}{\omega}=\sqrt{\frac{2m\varepsilon_0}{ne^2}} .\] Расстояние от щели \[x_1=vt_1=v\sqrt{\frac{2m\varepsilon_0}{ne^2}}.\] Числа: \(\omega=\sqrt{\dfrac{(1{,}6\cdot10^{-19})^2\cdot10^{10}}{9\cdot10^{-31}\cdot8{,}85\cdot10^{-12}}}\approx5{,}7\cdot10^6\) с\(^{-1}\), \(t_1=\dfrac{1{,}41}{5{,}7\cdot10^{6}}\approx2{,}5\cdot10^{-7}\) с, \[x_1=10^5\cdot2{,}5\cdot10^{-7}\text{ м}=2{,}5\cdot10^{-2}\text{ м}=2{,}5\text{ см}.\]

Обратите внимание: толщина щели \(d\) в ответ не вошла. Поле на краю слоя пропорционально \(n\,h_0\), а нужное смещение края равно \(h_0\); \(h_0\) сокращается. Поле на крае не уменьшается, хотя концентрация падает: заряд между плоскостью и краем остаётся прежним.

Ответ. \(x_1=v\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_0}{ne^2}}\approx2{,}5\) см.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{m\varepsilon_0}{ne^2}\) — \(\dfrac{\text{кг}\cdot\text{Ф/м}}{\text{м}^{-3}\cdot\text{Кл}^2}=\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{В}\cdot\text{Кл}}=\text{с}^2\), корень — секунды, умножив на скорость, получаем метры. Предел: при \(n\to0\) взаимодействие исчезает, \(x_1\to\infty\) — пучок не расширяется. Время \(t_1\approx2{,}5\cdot10^{-7}\) с много больше пролёта между электронами и много меньше любых макроскопических времён, так что слой действительно «мгновенно» отталкивается. Расстояние \(2{,}5\) см должно быть мало по сравнению с шириной пучка — это и есть смысл слова <<широкой>> щели.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.