Шарнирные ромбы

Стержни, проходящие через \(A_1\) и \(A_2\), прямые, поэтому у всех трёх ромбов один и тот же угол наклона сторон. Выразите горизонтальные координаты вершин через этот угол и продифференцируйте по времени.

\(v_{A_1}=\dfrac{v_0}{6}\),  \(v_{A_2}=\dfrac{v_0}{2}\) (обе вдоль \(\vec v_0\));  \(v_{B_2}=\dfrac{\sqrt5}{6}\,v_0\approx0{,}37\,v_0\), направлена вправо-вниз под углом \(\operatorname{arctg}\dfrac12\approx27^\circ\) к горизонту: горизонтальная составляющая \(v_0/3\), вертикальная \(v_0/6\) (вниз).

Что происходит. Конструкция растягивается, ромбы становятся площе. На рисунке стержень \(B_1C_2\) проходит через шарнир \(A_1\), а стержень \(C_2B_3\) — через \(A_2\): стороны соседних ромбов лежат на одной прямой, поэтому у всех трёх ромбов один и тот же угол \(\varphi\) между сторонами и горизонтальной осью. Положение всей конструкции задаёт один угол \(\varphi(t)\). Идея: записать координаты нужных вершин через \(\varphi\) и взять производную по времени.

Обозначения. \(a\) — сторона первого ромба \(A_0B_1A_1C_1\), значит у второго ромба \(2a\), у третьего \(3a\). Ось \(x\) — горизонталь через \(A_0,A_1,A_2,A_3\) (начало в \(A_0\), ось от стены), ось \(y\) вверх. \(\varphi\) — угол между сторонами ромбов и осью \(x\). Скорость \(\vec v_0\) направлена вдоль \(x\), так что \(\varphi\) уменьшается.

1. Координаты. Горизонтальная диагональ ромба со стороной \(b\) равна \(2b\cos\varphi\), ромбы стоят вплотную по оси \(x\): \[x_{A_1}=2a\cos\varphi,\qquad x_{A_2}=x_{A_1}+4a\cos\varphi=6a\cos\varphi,\qquad x_{A_3}=x_{A_2}+6a\cos\varphi=12a\cos\varphi .\] Вершина \(B_2\) лежит над серединой диагонали \(A_1A_2\) на высоте, равной половине вертикальной диагонали второго ромба: \[x_{B_2}=\frac{x_{A_1}+x_{A_2}}{2}=4a\cos\varphi,\qquad y_{B_2}=2a\sin\varphi .\]

2. Скорости вдоль оси \(x\). Скорость вершины — производная координаты по времени, \(\dot\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\). Для \(A_3\) по условию \[v_0=\dot x_{A_3}=-12a\sin\varphi\,\dot\varphi .\] Для \(A_1\) и \(A_2\) в том же виде, с теми же \(a\sin\varphi\,\dot\varphi\): \[v_{A_1}=-2a\sin\varphi\,\dot\varphi=\frac{v_0}{6},\qquad v_{A_2}=-6a\sin\varphi\,\dot\varphi=\frac{v_0}{2}.\] Эти отношения верны при любом \(\varphi\): координаты \(A_1,A_2,A_3\) пропорциональны \(2:6:12\), а не \(1:2:3\).

3. Скорость \(B_2\). Составляющие по осям: \[v_{B_2x}=-4a\sin\varphi\,\dot\varphi=\frac{v_0}{3},\qquad v_{B_2y}=2a\cos\varphi\,\dot\varphi=-\frac{v_0}{6}\,\operatorname{ctg}\varphi .\] Все углы конструкции прямые: углы ромбов равны \(90^\circ\), их стороны наклонены под \(\varphi=45^\circ\), \(\operatorname{ctg}\varphi=1\). Тогда \(v_{B_2y}=-v_0/6\): вершина \(B_2\) идёт вниз, к оси, — ромб сплющивается. Модуль и направление: \[v_{B_2}=\sqrt{\Bigl(\frac{v_0}{3}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{v_0}{6}\Bigr)^2}=\frac{\sqrt5}{6}\,v_0\approx0{,}37\,v_0,\qquad \operatorname{tg}\beta=\frac{|v_{B_2y}|}{v_{B_2x}}=\frac12 .\]

Обратите внимание: скорость вершины определяется тем, сколько горизонтальных диагоналей лежит между ней и стеной (2, 6 и 12 одинаковых «шагов \(a\cos\varphi\)»), а не номером ромба. Если взять отношение сторон \(1:2:3\) за отношение скоростей, получится \(v_0/3\) и \(2v_0/3\) вместо верных \(v_0/6\) и \(v_0/2\).

Ответ. \(v_{A_1}=v_0/6\),  \(v_{A_2}=v_0/2\),  \(v_{B_2}=\dfrac{\sqrt5}{6}v_0\approx0{,}37\,v_0\) (вправо-вниз, \(\operatorname{tg}\beta=1/2\)).

Проверка. Второй способ: стержень \(A_1B_2\) жёсткий, проекции скоростей его концов на стержень равны. Направление стержня \((\cos45^\circ,\sin45^\circ)\). Для \(A_1\): \(\dfrac{v_0}{6}\cos45^\circ\). Для \(B_2\): \(\dfrac{v_0}{3}\cos45^\circ-\dfrac{v_0}{6}\sin45^\circ=\dfrac{v_0}{6}\cos45^\circ\) — совпало. Предел: при \(\varphi\to90^\circ\) высота \(y_{B_2}=2a\sin\varphi\) проходит максимум, её производная и \(v_{B_2y}\propto\operatorname{ctg}\varphi\) обращаются в нуль — вершина \(B_2\) на этот момент движется строго горизонтально.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.