Такие разные колеса

Скорость точки касания колеса с опорой равна ω·R, поэтому линейные скорости разных колёс связаны с расстояниями до центра поворота как скорости при вращении вокруг одной точки; в п. 4 напишите условия отсутствия проскальзывания для обеих точек касания.

1) \(R=\dfrac{R_1}{R_2-R_1}\,l=1{,}00\text{ м}\); 2) \(\Delta\omega=\dfrac{v}{R}\dfrac{l}{r}=1{,}3\text{ рад/с}\); 3) \(\Delta R=\dfrac{r}{2\alpha}\dfrac{l}{R}=3{,}4\text{ мм}\); 4) вращение в одну сторону: \(\omega=\dfrac{\omega_2R_2-\omega_1R_1}{R_2-R_1}=28\text{ рад/с}\), \(\Omega=\dfrac{\omega_2R_2+\omega_1R_1}{R_2+R_1}=6{,}5\text{ рад/с}\); в разные стороны: \(\omega=\dfrac{\omega_2R_2+\omega_1R_1}{R_2-R_1}=1{,}4\cdot10^{2}\text{ рад/с}\), \(\Omega=\dfrac{\omega_2R_2-\omega_1R_1}{R_2+R_1}=1{,}3\text{ рад/с}\).

1. Если угловая скорость вращения игрушки при качении без проскальзывания равна \(\omega\), то линейные скорости вращения колес различны

\[\upsilon_1 = \omega R_1\]

\[\upsilon_2 = \omega R_2.\]

Пусть радиус поворота игрушки \(R\), тогда можем записать

\[\upsilon_1 = \Omega R\]

\[\upsilon_2 = \Omega(R + l),\]

где \(\Omega\) — угловая скорость вращения игрушки вокруг центра описываемой окружности. Выражая отношения скоростей, находим

\[\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{R + l}{R}.\]

Из последнего равенства

\[R = \frac{R_1}{R_2 - R_1} l = 100\,\text{см} = 1{,}00\,\text{м}.\]

2. При повороте автомобиля справедливы равенства: для ближнего (к центру поворота) колеса

\[\upsilon = \Omega R = \omega_1 r,\]

для дальнего

\[\upsilon + \Delta\upsilon = \Omega(R + l) = \omega_2 r,\]

где \(\Omega\) — угловая скорость вращения оси колеса вокруг центра описываемой окружности.

Из последнего равенства находим

\[\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\Omega(R + l)}{r} - \frac{\Omega R}{r} = \Omega \frac{l}{r} = \frac{\upsilon}{R} \cdot \frac{l}{r}.\]

Расчет дает

\[\Delta\omega = 1{,}3 \frac{\text{рад}}{c}.\]

3. Поскольку угловая скорость вращения колес поезда одинакова, то, используя результаты п.1 задачи получаем

\[\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{R + l}{R} = 1 + \frac{l}{R},\]

где \(R_1\) и \(R_2\) различные опорные радиусы колес после смещения колесной пары (в сторону от радиуса поворота).

При смещении колес на расстояние \(\Delta R\) относительно симметричного положения отношение опорных радиусов станет равным

\[\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{(L+\Delta R) \operatorname{tg} \alpha}{(L-\Delta R) \operatorname{tg} \alpha} \approx 1+2 \frac{\Delta R}{L},\]

где \(L\) - расстояние до вершины соответствующего конуса. В нашем случае

\[L=\frac{r}{\alpha} .\]

Следовательно

\[\Delta R=\frac{r}{2 \alpha} \cdot \frac{l}{R}=3{,}4 \text{ мм. }\]

Как следует из полученного выражения, смещение колесной пары обратно пропорционально радиусу закругления железной дороги. Следовательно, для уменьшения величины смещения (реборда ограничивает), на железной дороге делают повороты с большим радиусом.

4. Поскольку проскальзывание малого цилиндра отсутствует, то его линейные скорости в точках касания должны быть равны соответствующим линейным скоростям цилиндров. При вращении в одном направлении имеем

\[\begin{aligned} & \omega_{2} R_{2}=\omega r+\Omega \frac{R_{1}+R_{2}}{2} \\ & \omega_{1} R_{1}=\Omega \frac{R_{1}+R_{2}}{2}-\omega r, \end{aligned}\]

где \(r=\frac{R_{2}-R_{1}}{2}\) - радиус малого цилиндра.

Решая систему, получаем

\[\omega=\frac{\omega_{2} R_{2}-\omega_{1} R_{1}}{2 r}=\frac{\omega_{2} R_{2}-\omega_{1} R_{1}}{R_{2}-R_{1}}=28 \frac{\text{ рад }}{c} .\]

Выражение для \(\Omega\) :

\[\Omega=\frac{\omega_{2} R_{2}+\omega_{1} R_{1}}{R_{2}+R_{1}}=6{,}5 \frac{\text{ рад }}{c} .\]

Направление вращения в данном случае будет совпадать с направлением вращения внешнего цилиндра.

При вращении в разных направлениях в одном из уравнений системы следует поменять знак:

\[\begin{aligned} & \omega_{2} R_{2}=\Omega \frac{R_{1}+R_{2}}{2}+\omega r \\ & \omega_{1} R_{1}=\omega r-\Omega \frac{R_{1}+R_{2}}{2} . \end{aligned}\]

Решение в этом случае имеет вид

\[\omega=\frac{\omega_{2} R_{2}+\omega_{1} R_{1}}{2 r}=\frac{\omega_{2} R_{2}+\omega_{1} R_{1}}{R_{2}-R_{1}}=1{,}4 \cdot 10^{2} \frac{\text{ рад }}{c} .\]

Искомая угловая скорость

\[\Omega=\frac{\omega_{2} R_{2}-\omega_{1} R_{1}}{R_{2}+R_{1}}=1{,}3 \frac{\text{ рад }}{c} .\]

Направление вращения в этом случае также будет совпадать с направлением вращения внешнего цилиндра.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.