Разминаясь, заряжаюсь

Заряжающийся конденсатор в начальный момент ведёт себя как проводник, а в конце процесса как разрыв цепи; в п. 3 и 4 нарисуйте эквивалентную схему и найдите, какие ветви продолжают проводить ток при \(t\to\infty\).

1) сразу после замыкания \(U(0)=0\), \(I(0)=U_0/r\); затем \(U(\infty)=U_0\), \(I(\infty)=0\); 2) \(U(0)=0\), \(I(0)=U_0/r\); затем \(I(\infty)=U_0/2r\), \(U(\infty)=U_0/2\); 3) \(U(0)=0\), \(I(0)=U_0/r\); затем \(I(\infty)=0\), \(U(\infty)=0\) (напряжение на левом конденсаторе сначала растёт, потом стекает по резистору); 4) схема сводится к п. 2: параллельно включены два конденсатора и резистор, ответы те же, что в п. 2.

1. Сила тока в цепи:

\[Ir = U_0 - U_C\tag{1}\]

где \(U_C\) - разность потенциалов между пластинами конденсатора. Сразу после замыкания ключа заряд на конденсаторе (и, соответственно, напряжение) равен нулю, а ток максимален и определяется внутренним сопротивлением источника:

\[U_C(0) = 0\tag{2}\]

\[I(0) = U_0 / r\tag{3}\]

Когда конденсатор зарядится, разность потенциалов между пластинами станет равной ЭДС источника, а ток станет равным нулю.

\[U_C(\infty) = U_0\tag{4}\]

\[I(\infty) = 0\tag{5}\]

Качественные графики зависимости тока и напряжения от времени приведены на рис. 1.

Рис. 1

Для проведения простых качественных рассуждений можно считать, что в начальный момент времени конденсатор ведет себя как резистор с очень малым сопротивлением, а в дальнейшем его сопротивление неограниченно возрастает.

2. Эквивалентная электрическая схема изображена на рис. 2.

В начальный момент времени сопротивление участка цепи, состоящего из параллельно включенных резистора и конденсатора, равно нулю. Поэтому разность потенциалов, регистрируемая вольтметром, равна нулю, а ток определяется внутренним сопротивлением источника:

\[U_C(0) = 0\tag{6}\]

\[I(0) = U_0 / r\tag{7}\]

Через достаточно большой промежуток времени сопротивление участка цепи будет равно \(r\), значит ток будет равен:

\[I(\infty) = U_0 / 2r\tag{8}\]

а напряжение:

\[U(\infty) = U_0 / 2\tag{9}\]

Качественные графики зависимости тока и напряжения от времени приведены на рис. 3.

Рис. 3.

3. Эквивалентная электрическая схема изображена на рис. 4. В начальный момент времени по-прежнему:

\[U_{C}(0) = 0\tag{10}\]

\[I(0) = U_{0} / r\tag{11}\]

Через длительный промежуток времени зарядится правый конденсатор, и ток в цепи прекратится, т. е.:

\[I(\infty) = 0\tag{12}\]

а напряжение:

\[U(\infty) = 0\tag{13}\]

Зависимость силы тока в цепи качественно не изменится

и будет приблизительно такой же, как и на рис. 1. При построении зависимости напряжения на левом конденсаторе от времени следует учесть, что в течение определенного времени конденсатор будет заряжаться, однако позже весь заряд «стечет» по параллельно присоединенному резистору. Качественный график зависимости напряжения, регистрируемого вольтметром, от времени представлен на рис. 5.

Рис. 5

4. Эквивалентная электрическая схема изображена на рис. 4. Как видно из рисунка, в цепь параллельно включены два конденсатора и резистор. Такое включение аналогично рассмотренному в п.2.

Рис. 6

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.