Переходные процессы в RC-цепях, ток через конденсатор

Вся энергия электрического поля конденсатора превращается в теплоту.

\(0{,}08\) мкДж

Заряд, проходящий через резистор, пропорционален заряду на конденсаторе. Какая доля заряда остаётся на конденсаторе после каждой секунды?

За две секунды через резистор пройдёт электрический заряд 0,36 мКл, за три секунды — 0,488 мКл, за \(n\) секунд — \((1 - 0{,}8^n)\) мКл.

Проходящий через резистор электрический заряд пропорционален заряду на конденсаторе. Из условия задачи вытекает, что конденсатор, заряженный до заряда \(q\), за секунду уменьшит свой заряд на \(0{,}2q\) — останется заряд \(0{,}8q\). Таким образом, каждую секунду заряд конденсатора изменяется в 0,8 раз.

Спустя \(n\) секунд заряд на конденсаторе станет равен \(0{,}8^n\) мКл; следовательно, через резистор пройдёт заряд \((1 - 0{,}8^n)\) мКл. Подставляя значения \(n = 2\) и \(n = 3\), получаем ответы в частных случаях.

Заряд убывает по экспоненте с постоянной времени \(RC\); убыль на \(0{,}1\%\) за секунду означает множитель \(0{,}999\) за секунду.

1) 693 с;  2) \(0{,}8\%\).

Пока конденсатор разряжен, напряжение мало, и блок держит ток \(I_0\). Когда напряжение дойдёт до \(U_0\), режим сменится.

График приведён на рисунке: напряжение растёт линейно от нуля до \(U_0\) за время \(t_0 = U_0C/I_0\), далее остаётся равным \(U_0\).

В положении 1 заряд перераспределяется между \(3C\) и \(C\) без потерь на «длинных» резисторах, в положении 2 конденсатор \(C\) разряжается на \(2C\). Что остаётся неизменным в каждой из этих двух операций и к какому пределу сходится процесс?

\(q_3 = \dfrac{3CU_0}{2} = 5{,}4\) мКл, \(q = \dfrac{CU_0}{2} = 1{,}8\) мКл, \(q_2 = CU_0 = 3{,}6\) мКл, \(Q_1 \approx \dfrac{3CU_0^2}{4} \approx 6{,}5\cdot 10^{-2}\) Дж, \(Q_2 \approx 0\).

Сравните постоянные времени цепи: переходный процесс делится на быструю и медленную стадии. Что происходит с зарядами на конденсаторах в каждой из них?

\(i_1 \approx 0{,}9\) мкА, \(i_2 \approx 0{,}68\) мкА.

В установившемся режиме ток через конденсатор не идёт, и ток бареттера равен току резистора. Сравните ток, который мог бы дать резистор при напряжении батарейки, с током стабилизации.

1) при \(R = 50\) Ом конденсатор зарядится до напряжения \(1\) В, а при \(R = 500\) Ом "— до напряжения \(5\) В;  2) при \(R = 200\) Ом сила тока, текущего через резистор в тот момент, когда скорость изменения энергии конденсатора в процессе зарядки максимальна, равна \(10\) мА;  3) при \(R = 5000\) Ом конденсатор зарядится до половины максимального заряда за время \(1{,}5\) мс.

Сразу после переключения заряды конденсаторов не успевают измениться; сравните энергию системы до процесса и после его окончания.

\(8\) мДж.

В начале зарядки конденсатор не заряжен, так что ток определяется пересечением ВАХ источника с прямой \(U = IR\). Конденсатор в итоге заряжается до \(U_0\) (ток при этом стремится к нулю).

1) максимальная сила тока, протекающего в цепях с резисторами \(R_0\) и \(R_1\), равна \(I_{\max}^{(0)} = \dfrac{U_0}{R_0} = \dfrac{2}{3}\) А и \(I_{\max}^{(1)} = \dfrac{2I_0U_0}{I_0R_1 + U_0} = \dfrac{4}{3}\) А соответственно;

2) ёмкость включённого в цепь конденсатора равна \(C = \dfrac{2Q_0}{U_0^2} = 0{,}24\) мкФ;

3) в резисторе \(R_1\) к моменту полной зарядки конденсатора выделится количество теплоты \(Q_1 = \dfrac{I_0R_1(3U_0 - I_0R_1)}{U_0(U_0 + I_0R_1)}\,Q_0 = \dfrac{5}{6}Q_0 = 10\) мкДж.

Сразу после замыкания катушка равна разрыву цепи, а конденсатор — проводнику; в стационарном режиме наоборот. Тепло после размыкания — вся энергия, запасённая в катушках и конденсаторах.

В конце зарядки по симметрии на каждом конденсаторе напряжение \(\mathcal E/2\). После подключения резистора напряжение на конденсаторе между \(A_1\) и \(A_2\) обратится в нуль; используйте равенство напряжений между \(A_1\) и \(A_3\) по двум ветвям и сохранение заряда на изолированных пластинах.

Заряды на обкладках конденсаторов на различных этапах приведены на рисунках в решении, причём \(q = C\mathcal E/2 = 3\) мКл, \(q_1 = 4q/3 = 4\) мКл, \(q_2 = 2q/3 = 2\) мКл; максимальная сила тока через резистор \(I_{\max} = \mathcal E/(2R) = 3\) мА; на резисторе выделяется количество теплоты \(C\mathcal E^2/6 = 6\) мДж.

(а) Когда ток через батарейку становится пренебрежимо малым, на пластинах конденсаторов в силу симметрии схемы устанавливаются заряды \(\pm q\), как показано на рисунке. Поскольку ЭДС батарейки \(\mathcal E\) равна сумме напряжений на двух конденсаторах (каждое из напряжений \(q/C\)), имеем \(\mathcal E = 2q/C\) и \(q = C\mathcal E/2\).

(б) Отметим на рисунке заряды на конденсаторах, когда ток через резистор становится пренебрежимо малым. Заряд конденсатора, подключённого к точкам \(A_2\) и \(A_3\), обозначим через \(q_1\), заряды двух конденсаторов, подключённых к точке \(A_4\) — через \(q_2\). Учтём, что напряжение и заряд на конденсаторе, подключённом к точкам \(A_1\) и \(A_2\), обращаются в нуль.

Разность потенциалов между точками \(A_1\) и \(A_3\) равна, с одной стороны, \(q_1/C\), а с другой стороны \(2q_2/C\). Следовательно, \(q_1 = 2q_2\). Общий заряд на пластинах, подключённых к точке \(A_3\), должен сохраняться, поэтому \(q_1 + q_2 = 2q\). Из двух полученных соотношений для зарядов находим \(q_1 = 4q/3 = 2C\mathcal E/3\), \(q_2 = 2q/3 = C\mathcal E/3\).

(в) Поскольку заряд на конденсаторе, подключённом к резистору, всё время уменьшался, максимальная сила тока через резистор наблюдалась в момент подключения резистора и была равна отношению напряжения на конденсаторе \(q/C = \mathcal E/2\) к сопротивлению резистора \(R\): \(I_{\max} = \mathcal E/(2R)\).

(г) Энергия конденсаторов до подключения резистора равна \(4\cdot C(\mathcal E/2)^2/2 = C\mathcal E^2/2\), а после подключения — равна \(C(2\mathcal E/3)^2/2 + 2C(\mathcal E/3)^2/2 = C\mathcal E^2/3\). Следовательно, на резисторе выделится количество теплоты \(C\mathcal E^2/2 - C\mathcal E^2/3 = C\mathcal E^2/6\).

При зарядке конденсатора от источника выделившееся в резисторе тепло равно энергии заряженного конденсатора. После размыкания ключа вся запасённая энергия обеих реактивных ветвей уходит в тепло.

1) \(C = \dfrac{2Q_1}{\mathcal{E}^2} = 2\) мкФ;  2) \(L = \dfrac{2Q_2 - Q_1}{\mathcal{E}^2}\cdot 2R^2 = 50\) мкГн.

Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе не меняется, а в стационарном режиме токов нет. Для тепла используйте баланс энергии: работа батарей минус изменение энергии конденсаторов.

а) \(Q_1 = \dfrac{C\mathcal{E}^2}{4} = 0{,}4\) мДж;  б) \(I_2 = \dfrac{3\mathcal{E}}{2r} = 3\) А;  в) \(Q_2 = \dfrac{3C\mathcal{E}^2}{4} = 1{,}2\) мДж;  г) \(q_4 = C\mathcal{E} = 0{,}4\) мКл, \(q_5 = 2C\mathcal{E} = 0{,}8\) мКл;  д) \(q_4' = 0\), \(q_5' = 0\).

Из условия \(\varphi_E = \varphi_F\) в любой момент найдите связь между \(L\), \(C\) и \(R\). Тогда ток через источник окажется постоянным, а энергии катушки и конденсатора — равными.

\(q = \dfrac{\mathcal{E}t_0}{R}\); в каждом резисторе выделяется количество теплоты \(Q_1 = \dfrac{\mathcal{E}^2 t_0}{2R} - \dfrac{Q}{2}\).

Ток через катушку не может измениться скачком. Куда он потечёт сразу после размыкания в каждой из цепей и какую энергию запасла катушка до размыкания?

1) \(\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{R_L}{R} = 0{,}1\);  2) \(Q_1 = \dfrac{L\mathcal E^2}{2R_L^2}\left(1 + \dfrac{C R^2}{L}\right) \approx 5\cdot 10^{-2}\) Дж, \(Q_2 = \dfrac{L\mathcal E^2}{2R_L^2}\cdot\dfrac{R}{R+R_L} \approx 4{,}5\cdot 10^{-2}\) Дж.

Токи через катушки при мгновенном переключении не меняются скачком. Проинтегрируйте по времени уравнение для напряжений в контуре из двух катушек и резисторов, а для теплоты используйте закон сохранения энергии.

1) \(q_1 = 900\) мкКл;  2) \(Q \approx 7\) мДж (6,75 мДж).

Если \(i_1\) и \(i_2\) — токи, текущие через катушки индуктивностью \(L\) и \(2L\) соответственно в переходном процессе, то справедливо соотношение \[2L\,di_2 - L\,di_1 = r(dq_1 - 2\,dq_2),\] где \(dq_1\) и \(dq_2\) — заряды, протекающие через катушки индуктивностью \(L\) и \(2L\) за бесконечно малое время \(dt\). Проинтегрировав это уравнение, получаем равенство \[2L\,\Delta i_2 - L\,\Delta i_1 = r(q_1 - 2q_2),\] в котором \(\Delta i_2 = 0\), а \(\Delta i_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{2r}\). Протекающие через катушки заряды связаны соотношением \[C\mathcal{E} = q_1 + q_2,\] которое позволяет исключить заряд \(q_2\) и получить после простых преобразований ответ \[q_1 = \frac{L\mathcal{E}}{6r^2} + \frac{2C\mathcal{E}}{3} = 900\text{ мкКл}.\] Записав уравнение, отражающее закон сохранения энергии \[\frac{C\mathcal{E}^2}{2} = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} - \frac{L\mathcal{E}^2}{8r^2} + Q,\] легко получим ответ: \[Q = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(1 + \frac{L}{4Cr^2}\right) = 6{,}75\text{ мДж} \approx 7\text{ мДж}.\]

Эталонный конденсатор и нелинейный соединены последовательно, поэтому их заряды равны: по \(U_x\) узнаёте заряд, а по \(U_y\) — напряжение на нелинейном конденсаторе. Для второго пункта: чему равна работа генератора по перемещению заряда за период и куда уходит часть этой энергии помимо резистора?

1) \(|\sigma_\text{p}^{(\alpha)}|=\dfrac{C_0a}{S}\), \(|\sigma_\text{p}^{(\beta)}|=\dfrac{C_0b}{S}\), \(|\sigma_\text{p}^{(\gamma)}|=\dfrac{99C_0u}{S}\approx\dfrac{100C_0u}{S}\); \(E^{(\alpha)}=\dfrac{C_0a}{S\varepsilon_0}\), \(E^{(\gamma)}=\dfrac{C_0u}{S\varepsilon_0}\);  2) \(P_g=4CU_0^2n\), \(P_R=3{,}8\,CU_0^2n\).

Пункт 1. Сначала рассмотрим точку \(\gamma\) графика зависимости \(U_y(U_x)\). Справедливы соотношения \[100u=\frac{q(\gamma)}{C_0},\qquad u=\frac{R_2}{R_1+R_2}\bigl(E(\gamma)d+100u\bigr), \tag{1}\] где \(q(\gamma)\) — заряд эталонного конденсатора, \(E(\gamma)\) — напряжённость поля в диэлектрической пластине в данный момент. Из условия следует сильное неравенство \[100\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\ll1, \tag{2}\] поэтому второе уравнение из (20) можно переписать так \[u=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot E(\gamma)d. \tag{3}\] Таким образом, напряжение \(U_x=100u\) в точке \(\gamma\) пропорционально заряду \(q(\gamma)\) эталонного конденсатора, а следовательно (поскольку заряды конденсаторов равны) и заряду нелинейного конденсатора. Напряжение \(U_y=u\) в точке \(\gamma\) пропорционально напряжению на нелинейном конденсаторе. Подставляя в формулу (22) соотношение из условия, имеем искомую напряжённость \[E(\gamma)=\frac{C_0u}{S\varepsilon_0}. \tag{4}\] Поверхностная плотность поляризационных зарядов найдётся из соотношения \[\frac{q(\gamma)}{S\varepsilon_0}-\frac{|\sigma_\text{p}^{(\gamma)}|}{\varepsilon_0}=E(\gamma).\] Подставим в это соотношение заряд \(q(\gamma)\) из первого уравнения из (20), а напряжённость поля из формулы (23), после несложных преобразований получим ответ \[|\sigma_\text{p}^{(\gamma)}|=\frac{100C_0u}{S}-\frac{C_0u}{S}=\frac{99C_0u}{S}.\] Теперь рассмотрим точку \(\beta\). Легко видеть, что сумма напряжений на нелинейном и обычном конденсаторе в состоянии, соответствующем этой точке на графике, равна нулю. Этот факт отражает уравнение \[\left(\frac{C_0b}{S\varepsilon_0}-\frac{|\sigma_\text{p}^{(\beta)}|}{\varepsilon_0}\right)d-b=0, \tag{5}\] ведь заряд нелинейного конденсатора в этом случае равен \(C_0b\) (с точностью до знака). Из условия следует сильное неравенство \(\dfrac{C_0d}{S\varepsilon_0}\gg1\), поэтому пренебрегая последним слагаемым в уравнении (24), получаем искомую поверхностную плотность \[|\sigma_\text{p}^{(\beta)}|=\frac{C_0b}{S}.\] Наконец рассмотрим состояние диэлектрика, соответствующее точке \(\alpha\). Заряды конденсаторов в этом состоянии, очевидно, равны нулю, поэтому напряжённость поля в диэлектрике создаётся только поляризационными зарядами, следовательно справедливо равенство \[\frac{|\sigma_\text{p}^{(\alpha)}|}{\varepsilon_0}\cdot d\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}=a. \tag{6}\] Используя соотношение для сопротивлений, данное в условии, из равенства (25) имеем ответы: \[|\sigma_\text{p}^{(\alpha)}|=\frac{C_0a}{S},\qquad E^{(\alpha)}=\frac{C_0a}{S\varepsilon_0}.\]

Пункт 2. Сильное неравенство \(nRC\ll1\), приведённое в условии, означает, что время, за которое заряды на обкладках конденсатора устанавливаются, значительно меньше периода колебаний напряжения.

Пусть в некоторый момент времени напряжение на выводах генератора и на конденсаторе равно \(-U_0\). При изменении полярности напряжения на выводах генератора, последний перемещает заряд \(Q=2CU_0\), совершая работу \(A_g^{(1/2)}=2CU_0^2\). При обратном изменении полярности на выводах генератора, он совершает такую же работу по перемещению заряда. Таким образом, за период генератор совершает работу \(A_g=2A_g^{(1/2)}=4CU_0^2\), следовательно средняя мощность, потребляемая цепью от генератора, равна \(P_g=4CU_0^2n\).

Заметим, что если бы зависимость заряда конденсатора от напряжения на нём была бы линейной (\(q=CU\)), то вся мощность, потребляемая цепью от генератора, выделялась бы в виде тепла на резисторе. В случае нелинейного конденсатора часть работы, совершаемой генератором, тратится на «переполяризацию диэлектрика». При увеличении заряда нелинейного конденсатора от значения \(-CU_0\) до значения \(CU_0\) электрические силы совершают работу, равную \(A_p^{(1/2)}=\int U\,dq\), численно эта работа равна площади половины петли гистерезиса, располагающейся справа от оси ординат. Очевидно, что работа электрических сил по перезарядке конденсатора за период равна площади всей петли гистерезиса \(A_p=2A_p^{(1/2)}\) — это и есть потери энергии на переполяризацию диэлектрика. Таким образом, из закона сохранения энергии следует, что на резисторе за период выделяется количество теплоты, равное \(Q=A_g-A_p\). Определение \(A_p\), как уже было сказано, сводится к расчёту площади петли гистерезиса, которая может быть найдена разными способами. Приведём здесь конечный ответ \(A_p=0{,}2\,CU_0^2\). Таким образом, искомая мощность равна \(P_R=3{,}8\,CU_0^2n\).

За время порядка \(rC\) конденсаторы быстро перезаряжаются, а ток катушки за это время не успевает измениться. Затем в контуре идут слабо затухающие колебания. Для количества теплоты удобен закон сохранения энергии с учётом работы батарей.

a) \(t_L = \dfrac{3\pi}{4}\sqrt{2LC}\);  b) \(Q = \dfrac{3C\mathcal E^2}{4}\).

a) После перевода переключателя в положение 2 за очень короткое время (порядка \(\tau_C = rC\)) произойдёт перезарядка конденсаторов, так что напряжение на каждом из них станет равно \(\dfrac{\mathcal E}{2}\), обкладки конденсаторов, обращённые к клемме 2, будут заряжены отрицательно. Действительно, батареи, конденсаторы и катушка образуют колебательный контур, в котором будут происходить слабо затухающие колебания. Характерное время изменения тока через катушку при возникающих колебаниях равно (по порядку величины) \(\tau_{RLC} = \sqrt{LC}\). Из условия следует, что \(\tau_C \ll \tau_{RLC}\), поэтому ток через катушку не успевает измениться за время быстрой перезарядки конденсаторов. Таким образом, в начальный момент через катушку течёт ток \(I(0) = \dfrac{\mathcal E}{R}\), такой же, как до перевода переключателя в положение 2.

В колебательном процессе в каждый момент времени токи, текущие через батарейки, будут одинаковыми, при этом через катушку будет течь ток вдвое больший: \(I(t) = 2\dot q\). Запишем уравнение обхода (второе правило Кирхгофа) для контура, содержащего катушку и одну из батарей: \[\ddot q + \frac{\dot q\, r}{2L} + \frac{q}{2LC} = \frac{\mathcal E}{2L}.\] Затухание колебаний происходит за время порядка \(\dfrac{L}{r}\), которое благодаря сильному неравенству, данному в условии, оказывается значительно больше периода колебаний, равного по порядку величины \(\sqrt{LC}\). Таким образом, для ответа на вопрос пункта a) задачи достаточно рассмотреть вместо этого уравнения уравнение колебаний без затухания \[\ddot q + \frac{q}{2LC} = \frac{\mathcal E}{2L}.\] Общее решение этого уравнения даётся формулой \[q(t) = C\mathcal E + q_0\cos(\omega t + \varphi_0),\] где \(\omega^2 = \dfrac{1}{2LC}\), параметры \(q_0\) и \(\varphi_0\) определяются из начальных условий. Ток через катушку равен удвоенной производной заряда, поэтому из этой формулы следует зависимость \[I(t) = -2\omega q_0\sin(\omega t + \varphi_0).\] Для нулевого момента из начальных условий имеем систему уравнений \[\begin{cases} \dfrac{C\mathcal E}{2} = C\mathcal E + q_0\cos\varphi_0;\\[2mm] \dfrac{\mathcal E}{R} = -2q_0\omega\sin\varphi_0. \end{cases}\] Решая систему, получаем уравнение \[\omega\tan\varphi_0 = \frac{1}{RC}\] для определения начальной фазы. По условию \(\omega RC = \dfrac{RC}{\sqrt{2LC}} = 1\), поэтому это уравнение имеет решение \(\varphi_0 = \dfrac{\pi}{4}\). Из формулы для \(I(t)\) следует, что направление тока изменяется в момент времени \(t_L\), удовлетворяющий соотношению \(\omega t_L = \dfrac{3\pi}{4}\). Таким образом, имеем ответ: \(t_L = \dfrac{3\pi}{4}\sqrt{2LC}\).

b) Количество теплоты можно найти, используя закон сохранения энергии, записанный в виде \[A_{\mathcal E} = \Delta W_C + \Delta W_L + Q.\] Когда в цепи установится стационарный режим, ток через катушку течь не будет, а конденсаторы будут заряжены до напряжения \(\mathcal E\), поэтому изменение энергии конденсаторов \(\Delta W_C\) в процессе перезарядки и затухания колебаний равно \[\Delta W_C = 2\cdot\frac{C\mathcal E^2}{2} - \frac{C\mathcal E^2}{2} = \frac{C\mathcal E^2}{2},\] изменение энергии магнитного поля катушки даётся формулой \[\Delta W_L = -\frac{L\mathcal E^2}{2R^2} = -\frac{C\mathcal E^2}{4}.\] При выводе этой формулы использовалось соотношение \(R^2 = \dfrac{2L}{C}\), следующее из условия.

Одна из батарей в процессе установления стационарного режима перемещает нулевой заряд, другая перемещает заряд \(C\mathcal E\), поэтому суммарная работа ЭДС \(A_{\mathcal E}\) равна \[A_{\mathcal E} = C\mathcal E^2 .\] Подставляя эти выражения в уравнение, отражающее закон сохранения энергии, находим количество теплоты \[Q = A_{\mathcal E} - \Delta W_C - \Delta W_L = \frac{3C\mathcal E^2}{4}.\]