Потенциал Леннард-Джонса

Подсказка

Подстановкой \(x=(\alpha/r)^6\) энергия превращается в квадратный трёхчлен; энергию молекулы в жидкости и на поверхности находите суммированием по трём группам соседей, а \(L\) и \(\sigma\) связывайте с числом разорванных связей.

Ответ

1.1) \(r_{\min}=\alpha\sqrt[6]{2}\), \(E_{\min}=-\varepsilon\); \(E=0\) при \(r=\alpha\); 2.1) 6, 12 и 8 соседей; 2.2) 5, 8 и 4; 2.3) \(a=\alpha/\sqrt[6]{0{,}63}\), \(E_{\text{ВН}}=-9{,}81\,\varepsilon\); 3.1) \(\rho=\dfrac{M}{a^3N_A}\); 3.2) \(L=7{,}35\,\varepsilon N_A/M\); 3.3) \(\sigma=2{,}46\,\varepsilon/a^2\); 4.1) \(\rho=728\text{ кг/м}^3\), \(L=199\text{ кДж/кг}\), \(\sigma=0{,}0194\text{ Н/м}\).

Решение

Часть 1. Две молекулы

1.1 Сделав замену \(x = \left( \frac{\alpha}{r} \right)^6\), получим квадратичную зависимость:

\[y(x) = x^2 - x - E_0 / 4\varepsilon\tag{1}\]

Минимальное значение достигается при:

\[x_{min} = 1/2\tag{2}\]

т. е. при:

\[r = \alpha \sqrt[6]{2}\tag{3}\]

и равно:

\[E_{min} = -\varepsilon\tag{4}\]

Энергия взаимодействия равна нулю при:

\[r = \alpha\tag{5}\]

1.2 График зависимости \(E(r)\) представлен на рис. 1.

Рис. 1. График зависимости \(E(r)\)

Часть 2. Структура жидкости

2.1 Кубическая решетка изображена на рис. 2. Молекула, находящаяся внутри жидкости, имеет 6 «близких соседей», 12 «средних» и 8 «дальних». Всего 26 штук.

2.2 Молекула, находящаяся на поверхности жидкости, имеет 5 «близких соседей», 8 «средних» и 4 «дальних».

Рис. 2. Кубическая решетка

2.3 Потенциальная энергия взаимодействия молекулы со всеми соседями равна:

\[E_{\text{ВН}} = 6 \cdot 4\varepsilon \left( \left( \frac{\alpha}{a} \right)^{12} - \left( \frac{\alpha}{a} \right)^6 \right) + 12 \cdot 4\varepsilon \left( \left( \frac{\alpha}{a\sqrt{2}} \right)^{12} - \left( \frac{\alpha}{a\sqrt{2}} \right)^6 \right) + 8 \cdot 4\varepsilon \left( \left( \frac{\alpha}{a\sqrt{3}} \right)^{12} - \left( \frac{\alpha}{a\sqrt{3}} \right)^6 \right)\tag{6}\]

Сделав замену \(x = \left( \frac{\alpha}{a} \right)^6\) и приведя подобные слагаемые, получим:

\[y(x) = 6{,}2x^2 - 7{,}8x - E_{\text{ВН}} / 4\varepsilon\tag{7}\]

Минимальное значение энергии реализуется при:

\[x_{min} = 0{,}629\tag{8}\]

т. е. при:

\[a = \frac{\alpha}{\sqrt[6]{0{,}63}}\tag{9}\]

Минимальное значение энергии равно:

\[E_{\text{ВН}} = -9{,}81\varepsilon\tag{10}\]

Часть 3. Свойства жидкости

3.1 В объеме \(V\) жидкости находится \(N = V / a^3\) штук молекул. Их масса равна \(m = \frac{N}{N_A} M\). Тогда плотность равна:

\[\rho = \frac{m}{V} = \frac{M}{a^3 N_A} = \frac{M \sqrt{0{,}629}}{a^3 N_A} .\tag{11}\]

3.2 Молекула должна получить энергию равную (по модулю) энергии взаимодействия со своими «соседями» на поверхности жидкости (п. 2.2):

\[E_{\text{ПОВ}} = 5 \cdot 4\varepsilon (x^2 - x) + 8 \cdot 4\varepsilon \left( \frac{x^2}{64} - \frac{x}{8} \right) + 4 \cdot 4\varepsilon \left( \frac{x^2}{729} - \frac{x}{27} \right) = 4\varepsilon (5{,}1x^2 - 6{,}1x) = -7{,}35\varepsilon\tag{12}\]

При испарении массы \(m\) необходимо разорвать \(\frac{m}{M} N_A\) связей, т.е:

\[Lm = \frac{m}{M} N_A \vert E_{\text{ПОВ}}\vert ,\tag{13}\]

откуда:

\[L = 7{,}35\varepsilon \frac{N_A}{M} .\tag{14}\]

3.3 Для выхода молекулы на поверхность ей необходимо сообщить энергию равную:

\[E_{\text{ВН-ПОВ}} = \vert E_{\text{ВН}} - E_{\text{ПОВ}}\vert = 2{,}46\varepsilon .\tag{15}\]

При образовании поверхности с площадью \(S\), на нее выходит \(S / a^2\) молекул, тогда:

\[\sigma S = \frac{S}{a^2} E_{\text{ВН-ПОВ}} ,\tag{16}\]

откуда

\[\sigma = \frac{2{,}46\varepsilon \sqrt[3]{0{,}629}}{a^2} .\tag{17}\]

Часть 4. Вычислительная

4.1 Численные значения плотности, удельной теплоты парообразования и коэффициента поверхностного натяжения:

\[\rho = 728 \, \text{кг} / \text{м}^3 ,\tag{18}\]

\[L = 199 \, \text{кДж} / \text{кг} ,\tag{19}\]

\[\sigma = 0{,}0194 \, \text{Н} / \text{м} .\tag{20}\]

Табличные значения равны:

\[\rho = 800 \, \text{кг} / \text{м}^3 ,\tag{21}\]

\[L = 200 \, \text{кДж} / \text{кг} ,\tag{22}\]

\[\sigma = 0{,}011 \, \text{Н} / \text{м} .\tag{23}\]

Очень даже неплохо!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.