Молекулы гелия в параллелепипеде
1/10Плотность газообразного гелия при нормальных условиях \(\rho = 0{,}18\) кг/м\(^3\). Масса одной молекулы гелия \(m_1 = 6{,}64\cdot 10^{-27}\) кг. Сколько миллиардов молекул гелия содержится в прямоугольном параллелепипеде со сторонами \(a = 0{,}6\) мм, \(b = 0{,}2\) мм и \(c = 0{,}083\) мм?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите массу гелия в объёме \(abc\) через плотность и разделите её на массу одной молекулы.
Водород в межзвёздном кубе
2/10В межзвёздном пространстве один атом водорода приходится на один кубический сантиметр. Какая масса водорода сосредоточена в кубе длиной ребра \(1000\text{ км}\)? Ответ представьте в граммах и округлите до десятых. Известно, что масса \(6\cdot 10^{23}\) (это число из шестёрки и 23 нулей) атомов водорода составляет \(1\text{ г}\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПереведите объём куба в кубические сантиметры, найдите число атомов, затем массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(1{,}7\) г
Водород в межзвёздном кубе
2/10В межзвездном пространстве один атом водорода приходится на один кубический сантиметр. Какая масса водорода сосредоточена в кубе длиной ребра 1000 км? Ответ представьте в граммах и округлите до десятых. Известно, что масса \(6\cdot10^{23}\) атомов водорода составляет 1 г.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите объём куба в кубических сантиметрах, затем число атомов и массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1,7
Азот и водяной пар в сосудах
3/10Имеются два сосуда объемом 1 м\(^3\) каждый. В первом сосуде находится 1 кг азота, во втором — смесь азота и 18 г водяного пара. Количество молекул в обоих сосудах одинаково. Найдите отношение массы содержимого второго сосуда к массе содержимого первого сосуда. Масса молекулы воды составляет 9/14 от массы молекулы азота.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЕсли число молекул одинаково, то заменив часть молекул азота на молекулы воды, какая масса «потеряется»? Найдите число молекул воды через её массу и массу молекулы.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветОтношение массы содержимого второго сосуда к массе содержимого первого сосуда равно 0,99.
Плотность по расстоянию между атомами
3/10Определите плотность вещества, образующего кубическую кристаллическую решётку с расстоянием между атомами \(0{,}255\) нанометра (один нанометр — это миллиардная доля метра). Известно, что масса \(6\cdot 10^{23}\) атомов (\(6\cdot 10^{23}\) — это число из шестёрки и 23 нулей) данного вещества составляет \(27\text{ г}\). Ответ выразите в г/см\(^3\) и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНа каждый атом приходится кубик с ребром, равным расстоянию между атомами.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(2{,}7\) г/см\(^3\)
Сахар в озере
3/10В озере (площадь поверхности \(1\text{ км}^2\), глубина \(10\text{ м}\)) растворили \(1\text{ моль}\) сахара. Считая, что сахар равномерно распределился по водоёму, определите, сколько молекул сахара окажется в \(1\text{ см}^3\) воды из озера. Один моль — это \(6\cdot 10^{23}\) частиц.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите объём озера в кубических сантиметрах и разделите на него число молекул.
Атмосфера Тритона: плотность
3/10На Тритоне, спутнике планеты Нептун, плотность воздуха, состоящего в основном из азота, составляет 0,13 г/м\(^3\). Известно, что \(6\cdot10^{23}\) (это число из шестёрки и 23 нулей) молекул азота имеют массу 28 г.
Вопрос A (6 баллов). Сколько молекул воздуха содержится в кубике длиной ребра 2 микрометра (один микрометр "— это миллионная доля метра)? Ответ округлите до второй значащей цифры.
Вопрос B (4 балла). Представим, что имеется прямоугольный параллелепипед, в основании которого "— квадрат длиной 0,1 нанометра (один нанометр "— это миллиардная доля метра), порядка размера молекулы. Какой высоты должен быть параллелепипед, чтобы в него в среднем попадала одна молекула? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры. Полученное Вами значение по порядку величины равно длине свободного пробега "— расстоянию, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите число молекул в одном кубическом метре, затем умножьте на объём кубика; для B найдите объём, приходящийся на одну молекулу.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветA) 23 000; B) 35 мм.
Космический аппарат в облаке водорода
4/10Космический аппарат площадью сечения \(1\text{ м}^2\) влетает со скоростью \(10\text{ км/с}\) в облако молекулярного водорода плотностью \(10^{-10}\text{ кг/м}^3\). Оцените, сколько молекул водорода каждую секунду сталкивается с космическим аппаратом. Молярная масса водорода составляет \(2\text{ г/моль}\). Один моль — это \(6\cdot 10^{23}\) частиц.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗа секунду аппарат «заметает» цилиндр с площадью основания, равной сечению, и длиной, равной пройденному пути.
Кристалл поваренной соли
4/10Кристалл поваренной соли представляет собой кубическую решётку из атомов натрия и хлора, расположенных в <<шахматном>> порядке, так, что ближайшими соседями атома натрия являются атомы хлора, а ближайшими соседями атома хлора "— атомы натрия. Плотность поваренной соли \(2{,}16\) г/см\(^3\). Масса атома хлора составляет \(35{,}5\) атомных единиц массы, масса атома натрия "— \(23{,}0\) атомных единиц массы. В одном грамме \(6\cdot 10^{23}\) атомных единиц массы (\(6\cdot 10^{23}\) "— число из шестёрки и 23 нулей).
Сколько атомов натрия помещается в кубик длиной ребра 10 нанометров (один нанометр составляет миллиардную долю метра)? Ответ округлите до второй значащей цифры.
Найдите расстояние между соседними атомами решётки. Ответ выразите в нанометрах и округлите до второй значащей цифры.
Представим, что один грамм поваренной соли растворили в водоёме объёмом в кубический километр (при этом атомы натрия и хлора превратились в ионы). Сколько ионов натрия, распределившихся равномерно по водоёму, будет содержаться в кубическом миллиметре жидкости? Ответ округлите до второй значащей цифры.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите массу одной пары Na–Cl в граммах, затем число пар в единице объёма; на каждый атом приходится кубик со стороной, равной расстоянию между соседями.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\approx 22000\); 2) \(0{,}28\) нм; 3) \(\approx 10000\).
Фольга в двадцать атомных слоёв
5/10В атомной физике расстояния измеряются в нанометрах (нм), а массы — в атомных единицах массы (а.е.м.). Один метр составляет миллиард нанометров, а один грамм равен \(6\cdot 10^{23}\) а.е.м. (\(10^{23}\) — это число из единицы и 23 нулей). Масса атома алюминия составляет \(27\) а.е.м., а плотность алюминия \(2{,}7\text{ г/см}^3\). Какую толщину имеет алюминиевая фольга, состоящая из 20 слоёв атомов? Ответ представьте в нанометрах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите объём, приходящийся на один атом, и представьте его как куб с ребром — размером атома.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(5\) нм
Фольга из 40 атомных слоёв
5/10В атомной физике расстояния измеряются в нанометрах (нм), а массы — в атомных единицах массы (а.е.м.). Один метр составляет миллиард нанометров, а один грамм равен \(6\cdot10^{23}\) а.е.м. (\(10^{23}\) — это число из единицы и 23 нулей). Масса атома алюминия составляет 27 а.е.м., а плотность алюминия 2,7 г/см\(^3\). Какую толщину имеет алюминиевая фольга, состоящая из 40 слоев атомов? Ответ представьте в нанометрах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите объём, приходящийся на один атом, и представьте его как кубик; тогда толщина слоя равна ребру кубика.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ10
Напыление серебряной плёнки
5/10При напылении серебряной плёнки её толщина растёт со скоростью 6 слоёв атомов за 1 секунду. Сколько времени потребуется для напыления плёнки толщиной 2 мкм? Известно, что масса \(6\cdot10^{23}\) атомов серебра составляет 108 г, а плотность серебра 10,5 г/см\(^3\). Ответ представьте в минутах и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите объём, приходящийся на один атом, и оцените размер атома как кубический корень из него.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ21
Частички тумана
6/10Оцените среднюю кинетическую энергию и среднеквадратичную скорость частичек тумана диаметра 10 мкм, находящихся в воздухе при температуре 5 °C.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Броуновская частица — это «очень тяжёлая молекула». На неё распространяется тот же закон равнораспределения: на каждую степень свободы приходится \(kT/2\), значит средняя кинетическая энергия поступательного движения равна \(3kT/2\) независимо от массы.Энергия. \(T = 278\) К:
\[ \langle K\rangle = \frac32 kT = 1{,}5\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot278 \approx 5{,}8\cdot10^{-21}\ \text{Дж}. \]Масса частички. Радиус \(r=5\) мкм, вода:
\[ m = \rho\frac43\pi r^3 = 10^3\cdot\frac43\pi\,(5\cdot10^{-6})^3 \approx 5{,}2\cdot10^{-13}\ \text{кг}. \]Скорость.
\[ \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\frac{2\langle K\rangle}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot5{,}8\cdot10^{-21}}{5{,}2\cdot10^{-13}}} \approx 1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{м/с}. \] \[ \boxed{\langle K\rangle\approx5{,}8\cdot10^{-21}\ \text{Дж},\qquad \sqrt{\langle v^2\rangle}\approx1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{м/с}} \]Проверка. Энергия та же, что у молекулы воздуха при той же температуре ✓ — в этом весь смысл равнораспределения. А скорость меньше молекулярной (500 м/с) в \(\sqrt{m_{\text{част}}/m_{\text{мол}}}\approx3\cdot10^6\) раз ✓. 0,15 мм/с — это как раз наблюдаемое «дрожание» пылинок в микроскоп ✓. Порядок массы: полтриллионной доли грамма ✓ — типичная капелька тумана. За секунду частичка смещается заметно меньше 0,15 мм ✓, ведь движение хаотическое, а не прямолинейное.Ответ \(\langle K\rangle\approx5{,}8\cdot10^{-21}\) Дж, \(\sqrt{\langle v^2\rangle}\approx1{,}5\cdot10^{-4}\) м/с.Две броуновские частицы
6/10Во сколько раз различаются среднеквадратичные скорости двух частичек, совершающих броуновское движение в капле воды, если их массы различаются в четыре раза?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Средняя кинетическая энергия у обеих одинакова — \(3kT/2\). Значит \(mv^2\) одинаково, и скорость обратно пропорциональна корню из массы.\[ \frac{m_1\langle v_1^2\rangle}{2}=\frac{m_2\langle v_2^2\rangle}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{\langle v_1^2\rangle}}{\sqrt{\langle v_2^2\rangle}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt4 = 2. \] \[ \boxed{\text{В два раза}} \]Проверка. Ответ не зависит ни от температуры, ни от того, из чего частицы сделаны ✓ — только отношение масс. Если бы массы различались в 100 раз, скорости различались бы в 10 раз ✓. Заметьте: смещения за время наблюдения различаются иначе — там работает диффузия, и связь с массой уже не такая простая ✓.Ответ В два раза.Инфузория
6/10Оцените массу инфузории, на направленное движение которой со скоростью 1 мкм/с слабо влияет тепловое движение.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея «Слабо влияет» — значит тепловая скорость должна быть меньше скорости собственного движения. Приравняв их, получим границу.\[ \sqrt{\frac{3kT}{m}} \lesssim v \quad\Longrightarrow\quad m \gtrsim \frac{3kT}{v^2}. \] \[ m \gtrsim \frac{3\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}{(10^{-6})^2} = \frac{1{,}24\cdot10^{-20}}{10^{-12}} \approx 1{,}2\cdot10^{-8}\ \text{кг}. \] \[ \boxed{m \gtrsim 0{,}01\ \text{мг}} \]Проверка. Такой массе воды соответствует шарик радиуса \(\sqrt[3]{3m/(4\pi\rho)}\approx0{,}14\) мм ✓ — как раз размер крупной инфузории (туфелька — около 0,2 мм) ✓. Эволюция «знала», где проходит граница. Мелкие бактерии (микрон, \(10^{-15}\) кг) этой границе не удовлетворяют ✓ — и правда, их сильно колотит тепловым движением, они плавают «дёргаясь». Размерность: Дж/(м²/с²) = кг ✓.Ответ \(m\gtrsim0{,}01\) мг.Тепловое дрожание маятника
6/10Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха 20 °C. Масса шарика 1 мг, длина нити маятника 10 м.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Маятник при малых отклонениях — это пружинка с жёсткостью \(k_{\text{пр}} = mg/l\). На каждую «квадратичную» степень свободы (потенциальную энергию) приходится \(kT/2\).\[ \frac{k_{\text{пр}}\langle x^2\rangle}{2} = \frac{kT}{2}, \qquad k_{\text{пр}} = \frac{mg}{l}, \] \[ \langle x^2\rangle = \frac{kT\,l}{mg} = \frac{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot293\cdot10}{10^{-6}\cdot9{,}8} \approx 4{,}1\cdot10^{-15}\ \text{м}^2, \] \[ \boxed{\sqrt{\langle x^2\rangle} \approx 6{,}4\cdot10^{-8}\ \text{м} \approx 0{,}06\ \text{мкм}} \]Проверка. Размерность: Дж·м/(кг·м/с²) = м² ✓. Величина в сотни раз меньше длины волны света ✓ — увидеть такое дрожание глазом нельзя, но оно ставит предел точности крутильных и маятниковых приборов. Чтобы дрожание уменьшить, надо брать более тяжёлый шарик и короткую нить ✓ — и правда, точные весы делают жёсткими. Проверка через энергию: \(k_{\text{пр}}=10^{-6}\cdot9{,}8/10=9{,}8\cdot10^{-7}\) Н/м, и \(k_{\text{пр}}\langle x^2\rangle/2 = 2\cdot10^{-21}\) Дж \(=kT/2\) ✓.Ответ \(\sqrt{\langle x^2\rangle}\approx6{,}4\cdot10^{-8}\) м.Задача 5.1.5
6/10Зеркальце гальванометра подвешено на кварцевой нити. На зеркальце падает узкий параллельный луч света и, отражаясь от него, попадает на экран, расположенный на расстоянии 20 м от зеркальца. Температура воздуха 300 K. Оцените, на сколько увеличится радиус светового пятна на экране в результате теплового движения зеркальца, если при повороте зеркальца на угол \(\varphi\) на него со стороны нити действует момент сил \(M=-\varkappa\varphi\), где \(\varkappa = 1{,}38\cdot10^{-15}\) Н·м. Как изменится ответ, если температуру воздуха понизить до 100 K?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Крутильный подвес — снова «пружинка», только угловая. Равнораспределение даёт \(\varkappa\langle\varphi^2\rangle/2 = kT/2\). А зайчик поворачивается вдвое быстрее зеркальца.\[ \langle\varphi^2\rangle = \frac{kT}{\varkappa} = \frac{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}{1{,}38\cdot10^{-15}} = 3\cdot10^{-6}\ \text{рад}^2, \qquad \varphi_{\text{ск}} = 1{,}7\cdot10^{-3}\ \text{рад}. \]При повороте зеркальца на \(\varphi\) отражённый луч поворачивается на \(2\varphi\), и пятно на экране смещается на \(2\varphi L\):
\[ \Delta r = 2\varphi_{\text{ск}}L = 2\cdot1{,}7\cdot10^{-3}\cdot20 \approx 0{,}07\ \text{м}. \] \[ \boxed{\Delta r \approx 7\ \text{см}} \]При 100 K: \(\langle\varphi^2\rangle\) втрое меньше, \(\varphi_{\text{ск}}\) — в \(\sqrt3\) раза:
\[ \Delta r' = \frac{7}{\sqrt3} \approx 4\ \text{см}. \]Проверка. Пятно «размазывается» на 7 см при плече 20 м ✓ — это и есть предел чувствительности зеркального гальванометра, знаменитый результат: сколько ни увеличивай плечо, отношение сигнала к тепловому шуму не улучшится, ведь и сигнал растёт как \(L\). Зависимость \(\Delta r\propto\sqrt T\) ✓ — охлаждение помогает, но медленно: втрое более холодный прибор точнее лишь в 1,7 раза. Величина \(\varkappa=1{,}38\cdot10^{-15}\) подобрана так, что \(kT/\varkappa\) — круглое число ✓. Размерность: Дж/(Н·м) — безразмерная ✓, как и положено квадрату угла.Ответ \(\Delta r\approx7\) см; при 100 K — около 4 см.Пористая перегородка
6/10Сосуд разделён на две секции пористой перегородкой. В одной секции находится газ, состоящий из лёгких молекул, в другой — из тяжёлых. Давление газа в обеих секциях сосуда в начальный момент одинаково. Через некоторое время давление в той секции сосуда, где находились тяжёлые молекулы, увеличилось. Затем, через более длительный промежуток времени, давление в обеих секциях сосуда выравнялось. Объясните этот эффект.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сквозь узкие поры газ проходит не «потоком», а поодиночке: число молекул, пролетающих через отверстие в секунду, пропорционально \(n\bar v\), а \(\bar v\propto1/\sqrt\mu\). Значит лёгкие молекулы просачиваются быстрее.Начальный этап. Давления равны, значит равны и концентрации \(n\) (температура общая). Но поток через поры
\[ j \propto n\bar v \propto \frac{n}{\sqrt{\mu}} \]у лёгкого газа больше. Поэтому лёгкие молекулы уходят в «тяжёлую» секцию быстрее, чем тяжёлые в «лёгкую». Там прибавляется больше молекул, чем убывает, — и давление растёт ✓. В «лёгкой» секции, наоборот, падает.
Позже. Возникший перепад давления гонит газ обратно. Процесс идёт, пока не установится полное равновесие: оба газа равномерно перемешаны, концентрация каждого одинакова по обе стороны, встречные потоки каждого сорта равны, и давления сравниваются ✓.
Почему сначала «неправильно», а потом правильно. Быстрый этап — это разность подвижностей; медленный — установление истинного равновесия. Именно так работает классический опыт с пористым стаканчиком и водородом, где вода из трубки сначала бьёт фонтаном, а потом всё возвращается.
Проверка. Отношение начальных потоков \(\sqrt{\mu_{\text{тяж}}/\mu_{\text{лёг}}}\) ✓ — например, водород сквозь пористую стенку идёт в 4 раза быстрее кислорода. На этом же эффекте основано разделение изотопов урана диффузионным методом ✓ — правда, там отношение масс \(352/349\), и коэффициент разделения за одну ступень всего 1,0043. В конечном состоянии давление в каждой секции равно исходному ✓ (число молекул сохранилось, объём и температура те же).Ответ Лёгкие молекулы подвижнее и просачиваются быстрее, поэтому сначала их число в «тяжёлой» секции растёт быстрее, чем убывает число тяжёлых, — давление там повышается; затем устанавливается полное равновесие и давления выравниваются.Гелий и водород
6/10В секции 1 сосуда находится смесь гелия с водородом. Давление водорода и гелия одинаково. В секции 2 сосуда вакуум. На короткое время в перегородке открывают отверстие \(A\). Определите отношение давления гелия к давлению водорода в секции 2.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеОтверстие открывают ненадолго: успевает пройти лишь малая доля молекул, и состав в секции 1 практически не меняется. Идея Через отверстие каждый газ течёт сам по себе (эффузия): число молекул в секунду пропорционально \(n\bar v\). Парциальные давления одинаковы, значит одинаковы и концентрации; всё решает средняя скорость.\[ \frac{N_{\text{He}}}{N_{\text{H}_2}} = \frac{n_{\text{He}}\bar v_{\text{He}}}{n_{\text{H}_2}\bar v_{\text{H}_2}} = \frac{\bar v_{\text{He}}}{\bar v_{\text{H}_2}} = \sqrt{\frac{\mu_{\text{H}_2}}{\mu_{\text{He}}}} = \sqrt{\frac24} = \frac1{\sqrt2}. \]В секции 2 газы имеют одну и ту же температуру и объём, поэтому отношение давлений равно отношению чисел молекул:
\[ \boxed{\frac{P_{\text{He}}}{P_{\text{H}_2}} = \frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}71} \]Проверка. Водорода перелетело больше ✓ — он легче и быстрее, хотя молекул в секции 1 было поровну. Именно так работает эффузионное разделение ✓. Условие «на короткое время» существенно ✓: иначе состав в секции 1 успел бы измениться и отношение поплыло бы. Проверка предельного случая: если бы массы были равны, отношение было бы 1 ✓. Числом: \(\bar v_{\text{H}_2}=1760\) м/с, \(\bar v_{\text{He}}=1245\) м/с при 300 К, отношение 0,707 ✓.Ответ \(P_{\text{He}}/P_{\text{H}_2} = 1/\sqrt2\).Задача 5.1.8
6/10Сосуд разделён перегородками на \(n\) изолированных секций. В начальный момент в секции 1 находится одинаковое число молекул с молярной массой \(\mu_1\) и \(\mu_2\). В остальных секциях вакуум. На короткое время в перегородках открывают небольшие отверстия. Оцените отношение числа молекул с молярной массой \(\mu_1\) к числу молекул с молярной массой \(\mu_2\) в \(n\)-й секции сосуда.
К задаче 5.1.8 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Каждая перегородка работает как один «разделительный каскад»: она умножает отношение чисел молекул на \(\sqrt{\mu_2/\mu_1}\). Перегородок между секцией 1 и секцией \(n\) ровно \(n-1\).Одна перегородка. Как в задаче 5.1.7, при равных концентрациях числа перелетевших молекул относятся как средние скорости:
\[ \frac{N_1'}{N_2'} = \frac{N_1}{N_2}\cdot\sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}}. \]Каскад. Начиная с \(N_1/N_2 = 1\) и пройдя \(n-1\) перегородок:
\[ \boxed{\frac{N_1}{N_2} = \left(\frac{\mu_2}{\mu_1}\right)^{(n-1)/2}} \]Проверка. При \(n=1\) отношение равно 1 ✓ — исходная секция. При \(n=2\) получаем \(\sqrt{\mu_2/\mu_1}\) ✓ — результат задачи 5.1.7. Если \(\mu_1<\mu_2\), отношение растёт с \(n\) ✓ — в дальних секциях остаётся почти чистый лёгкий газ. Практика: для изотопов урана \(\mu_2/\mu_1 = 352/349\), один каскад даёт коэффициент 1,0043, и чтобы поднять содержание \(^{235}\)U с 0,7 % до 3 %, нужно порядка тысячи ступеней ✓ — ровно поэтому диффузионные заводы были огромными. Оговорка «оцените» уместна ✓: формула точна, лишь пока в каждой секции остаётся малая доля газа и состав предыдущей секции не успевает измениться.Ответ \(N_1/N_2 = (\mu_2/\mu_1)^{(n-1)/2}\).Задача 5.1.9
6/10Из сосуда через отверстие в стенке вытекает за время \(\tau\) половина разреженного газа. За какое время вытекла бы половина этого же газа, если бы все размеры сосуда (в том числе и размеры отверстия) были в \(n\) раз больше?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Скорость убыли числа молекул пропорциональна концентрации, средней скорости и площади отверстия. Характерное время — это «объём, делённый на площадь отверстия», а оно растёт как первая степень размера.Поток. Число молекул, вылетающих в секунду:
\[ \frac{\Delta N}{\Delta t} = -\frac14\,n\,\bar v\,S = -\frac14\,\frac NV\,\bar v\,S. \]Значит доля \(N/N_0\) убывает по одному и тому же закону с характерным временем
\[ \tau \propto \frac{V}{\bar v\,S}. \]Масштабирование. Все размеры в \(n\) раз больше: \(V\to n^3V\), \(S\to n^2S\), \(\bar v\) не меняется (та же температура и тот же газ). Поэтому
\[ \boxed{\tau' = n\,\tau} \]Проверка. Ответ не зависит от того, какая именно доля вытекла ✓ — время убывания в любое заданное число раз масштабируется одинаково, потому что закон убыли экспоненциальный. Проверка размерности: \(V/(\bar vS)\) — м³/((м/с)м²) = с ✓. Начальная концентрация в большом сосуде та же, что и в малом (условие «этого же газа») ✓ — иначе пришлось бы учитывать и её. Физический смысл: молекуле надо в \(n\) раз дольше «искать» выход ✓.Ответ \(\tau' = n\tau\).Канал вместо отверстия
6/10Оцените, во сколько раз поток газа, вытекающего из сосуда через цилиндрический канал радиуса \(R\) и длины \(L\), меньше потока газа, вытекающего через отверстие радиуса \(R\). Считать, что стенки канала поглощают молекулы.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Сквозь канал пролетят только те молекулы, которые попали в него под очень малым углом к оси — иначе они врежутся в стенку и «прилипнут». Доля таких молекул и есть искомый коэффициент.Какие молекулы проходят. Молекула, влетевшая в канал, пролетит его насквозь, только если угол \(\vartheta\) между её скоростью и осью не превышает примерно
\[ \vartheta_0 \sim \frac{R}{L} \ll 1. \]Какая это доля. В эффузионном пучке поток молекул, летящих под углом \(\vartheta\), пропорционален \(\cos\vartheta\), а телесный угол — \(2\pi\sin\vartheta\,d\vartheta\). Доля молекул с \(\vartheta<\vartheta_0\):
\[ \frac{\displaystyle\int_0^{\vartheta_0}\cos\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta} {\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta} = \sin^2\vartheta_0 \approx \left(\frac RL\right)^2. \] \[ \boxed{\text{Поток меньше примерно в } \frac{L^2}{R^2}\ \text{раз}} \]Проверка. При \(L\to0\) множитель \(\to1\) ✓ — канал превращается в отверстие. Оценка безразмерна и зависит только от отношения \(L/R\) ✓, как и должно быть. Числом: канал длиной 1 см и радиусом 0,1 мм ослабляет поток в \(10^4\) раз ✓ — так делают источники молекулярных пучков. Оговорка про поглощающие стенки существенна ✓: если бы стенки отражали молекулы, часть их всё равно доползала бы до выхода (это случай Кнудсена, там ослабление всего \(\sim L/R\), а не \((L/R)^2\)) ✓.Ответ Примерно в \(L^2/R^2\) раз.Задача 5.1.11
6/10Два сосуда одинакового объёма \(V\) соединены узким каналом. В сосудах находится небольшое число частиц \(N\) (частиц так мало, что они почти не сталкиваются друг с другом). Сколько частиц окажется в каждом из сосудов, если температура газа в одном сосуде равна \(T_1\), а во втором — \(T_2>T_1\)? В соединительный канал поместили лёгкий флажок. В какую сторону он отклонится?
К задаче 5.1.11 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Столкновений нет, поэтому равновесие устанавливается по потокам: сколько частиц в секунду улетает туда, столько и обратно. А поток \(\propto n\bar v\propto n\sqrt T\). Это не равенство давлений!Баланс потоков.
\[ n_1\sqrt{T_1} = n_2\sqrt{T_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{N_1}{N_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}. \]Вместе с \(N_1+N_2=N\):
\[ \boxed{N_1 = \frac{N\sqrt{T_2}}{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2}}, \qquad N_2 = \frac{N\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2}}} \]В холодном сосуде частиц больше.
Флажок. Давления:
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{n_1T_1}{n_2T_2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\cdot\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} < 1. \]Значит давление больше со стороны горячего сосуда: числа ударов одинаковы, но прилетающие оттуда частицы приносят больший импульс. Флажок отклонится в сторону первого (холодного) сосуда.
\[ \boxed{\text{Флажок отклонится к холодному сосуду}} \]Проверка. При \(T_1=T_2\) частицы делятся поровну и флажок стои́т ✓. Знаменитый «эффект теплового скольжения»: \(P\propto\sqrt T\) вместо привычного \(P_1=P_2\) ✓. Он реален и используется в вакуумной технике (термомолекулярная разность давлений). Если бы газ был плотным (частые столкновения), выравнивались бы давления, и частиц больше было бы в холодном сосуде в отношении \(T_2/T_1\), а не \(\sqrt{T_2/T_1}\) ✓ — разница хорошо видна на опыте. Направление флажка совпадает с направлением, куда «дует» от горячего к холодному ✓ — это же принцип радиометра Крукса.Ответ \(N_1 = N\sqrt{T_2}/(\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2})\), \(N_2 = N\sqrt{T_1}/(\sqrt{T_1}+\sqrt{T_2})\); флажок отклонится в сторону холодного (первого) сосуда.Размер молекулы масла
1/10Объём капли по массе и плотности, делённый на площадь пятна, даёт толщину однородного слоя в одну молекулу.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Атомы в кристаллической ячейке железа
2/10Каждый вершинный атом куба принадлежит восьми ячейкам, атом в центре — одной ячейке; считаем долю.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Расширение воды при нагреве от 10 до 100 °C
3/10Коэффициент объёмного расширения зависит от температуры (таблица); объёмы по интервалам перемножаются, малые поправки можно складывать — найти отношение конечного объёма к начальному.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Почему медицинский термометр не остывает
3/10Качественно: сужение в трубке разрывает ртутный столбик при остывании, потому показание сохраняется; при встряхивании ртуть по инерции проходит в колбу.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Температурный компенсатор
4/10Два иридиевых стержня и никелевая пластина между ними: расстояние между зеркалами не меняется, если удлинение никеля вдвое больше удлинения иридия; найти длину никеля через коэффициенты линейного расширения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Колечко между стенками при нагреве
4/10Кольцо в клиновом зазоре расширяется подобно: радиус растёт по закону линейного расширения, значит и расстояние центра от вершины угла растёт в тех же пропорциях; найти сдвиг центра при нагреве на 10 градусов.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Капля масла на озере
2/10Капля масла растеклась по поверхности озера, образовав пятно площадью \(40\text{ м}^2\). Определите толщину слоя масла. Масса капли \(4\text{ г}\), плотность масла \(0{,}8\text{ г/см}^3\). Ответ выразите в нанометрах (это миллиардная доля метра) и округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСлой — это цилиндр с площадью основания, равной площади пятна. Найдите объём капли.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(125\) нм
Электролиз воды
3/10Если в воду поместить два электрода, через которые подать электрический ток, начнётся реакция электролиза воды: на положительном электроде будет происходить реакция \[2\mathrm{O}^{-2} \to \mathrm{O}_2 + 4e^-,\] то есть из двух ионов кислорода образуются молекула газа кислорода и 4 электрона, а на отрицательном электроде будет происходить реакция \[2\mathrm{H}^+ + 2e^- \to \mathrm{H}_2,\] то есть из двух ионов водорода и двух электронов образуется молекула газа водорода.
В школьной лабораторной работе в течение 20 минут проводился электролиз воды, причём сила тока в цепи была постоянна. В результате выделилось \(2{,}5\cdot 10^{-5}\) моль водорода. Какова была сила тока в цепи? Элементарный заряд \(1{,}60\cdot 10^{-19}\) Кл, постоянная Авогадро \(6{,}02\cdot 10^{23}\) 1/моль.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСколько электронов нужно, чтобы получилась одна молекула водорода? Сила тока "— заряд, протёкший за единицу времени.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(I = 4{,}0\) мА.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЗа 20 минут выделилось \[N = 2{,}5\cdot 10^{-5}\text{ моль}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23}\,\frac{1}{\text{моль}} = 15{,}05\cdot 10^{18}\] молекул водорода. Значит, за это время в цепи протёк заряд \(2eN\) и сила тока в цепи \[I = \frac{2\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}\text{ Кл}\cdot 15{,}05\cdot 10^{18}}{20\cdot 60\text{ с}} = 4{,}0\text{ мА}.\]
Блюдце с водой в закрытом помещении
4/10В помещение объемом 10 кубических метров внесли блюдце с 300 г воды. Никаких водяных паров изначально в помещении не было. Помещение герметично закрыли. После установления равновесия плотность водяного пара стала равна 16,7 г/м\(^3\).
(3 балла) Найдите массу воды, оставшуюся на блюдце. Ответ выразите в граммах и округлите до третьей значащей цифры.
(4 балла) Сколько молекул водяного пара попадет в куб длиной ребра 200 нанометров? Ответ выразите округлите до второй значащей цифры. Один нанометр — это миллиардная доля метра. Масса \(6\cdot 10^{23}\) (это число из шестерки и 23 нулей) молекул воды составляет 18 г.
(3 балла) После того как температура в помещении увеличилась, вся вода испарилась. Какой стала плотность водяного пара в помещении? Ответ выразите в г/м\(^3\) и округлите до второй значащей цифры.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса пара в помещении равна плотности, умноженной на объём; остальное осталось в виде воды. Число молекул найдите через массу пара в маленьком кубе и число молекул в 18 г.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 133 г; 2) 4500; 3) 30 г/м\(^3\).
Ток электронов в садовом шланге
4/10Вода течёт по садовому шлангу с объемным расходом 450 см\(^3\)/с. Чему равен ток электронов \(I_e\)? Число Авогадро \(N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}\) 1/моль. Ответ выразите в мегаамперах, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите число молекул воды, проходящих за секунду, и число электронов в одной молекуле \(\mathrm{H_2O}\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(I_e \approx 24{,}1\) МА.
Блюдце с водой: давление насыщенного пара
5/10В сосуд объемом 10 кубических метров внесли блюдце с 300 г воды. Никаких водяных паров изначально в сосуде не было. Сосуд герметично закрыли и дождались установления равновесия. Температура в сосуде 25\(^\circ\)C, давление насыщенного пара воды при этой температуре 2,3 кПа. Абсолютный нуль составляет \(-273^\circ\)C. Универсальная газовая постоянная 8,3 Дж/(моль\(\cdot\)К).
(3 балла) Найдите массу воды, оставшуюся на блюдце. Ответ выразите в граммах и округлите до третьей значащей цифры.
(4 балла) Сколько молекул водяного пара попадет в куб длиной ребра 200 нанометров? Ответ выразите округлите до второй значащей цифры. Масса \(6\cdot 10^{23}\) молекул воды составляет 18 г.
(3 балла) Каким будет парциальное давление водяного пара в сосуде при увеличении температуры до 100 градусов Цельсия? Атмосферное давление составляет 100 кПа. Ответ выразите в килопаскалях и округлите до второй значащей цифры.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМассу насыщенного пара найдите из уравнения Менделеева–Клапейрона при давлении 2,3 кПа. При 100 \(^\circ\)C учтите, остаётся ли в сосуде вода: если нет, давление пара определяется количеством вещества.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 133 г; 2) 4500; 3) 5,2 кПа.
Атмосфера Тритона: давление
5/10На Тритоне, спутнике планеты Нептун, давление воздуха, состоящего в основном из азота (молярная масса 28 г/моль), составляет 1,5 Па, температура \(-235\,^\circ\)C. Ускорение свободного падения на поверхности спутника 0,78 м/с\(^2\). Абсолютный нуль составляет \(-273\,^\circ\)C, универсальная газовая постоянная 8,3 Дж/(моль\(\cdot\)К), одному молю соответствует \(6\cdot10^{23}\) частиц.
Вопрос A (1 балл). Определите массу воздуха в одном кубическом метре у поверхности Тритона. Ответ представьте в граммах и округлите до второй значащей цифры.
Вопрос B (2 балла). Какой высоты должна быть льдинка (плотность 0,9 г/см\(^3\)) в форме прямоугольного параллелепипеда, чтобы она создавала на поверхность Тритона такое же давление, что и воздух? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры.
Вопрос C (4 балла). Сколько молекул воздуха содержится в кубике длиной ребра 2 микрометра? Ответ округлите до второй значащей цифры.
Вопрос D (3 балла). Представим, что имеется прямоугольный параллелепипед, в основании которого "— квадрат длиной 0,1 нанометра, порядка размера молекулы. Какой высоты должен быть параллелепипед, чтобы в него в среднем попадала одна молекула? Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры. Полученное Вами значение по порядку величины равно длине свободного пробега "— расстоянию, которое молекула проходит между двумя последовательными столкновениями.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПлотность газа найдите из уравнения Менделеева "— Клапейрона, затем число молекул "— через массу и молярную массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветA) 0,13 г; B) 2,1 мм; C) 23 000; D) 35 мм.
Пластилиновая модель графена
5/10Чебурашка и Гена долго строили и, наконец, построили наглядную модель графена – двумерного кристалла углерода, состоящего из ячеек в виде правильных шестиугольников, как показано на рисунке в масштабе \(250.000.000 : 1\).
Количество ячеек в модели было большим, так что её площадь оказалась равной \(12{,}5\) м\(^2\). Атомы углерода в модели – одинаковые пластилиновые шарики, а «связи» между «атомами» – кусочки проволоки, сделанной из медного сплава. При этом объем пластилина в каждом шарике в 9 раз больше объема каждой проволочки, соединяющей соседние шарики.
Оцените массу этой модели графена. Плотность пластилина \(\rho_{\text{плас}} = 1330\) кг/м\(^3\), плотность медного сплава \(\rho_{\text{пров}} = 9000\) кг/м\(^3\). Масса проволочек, необходимых для изготовления одной-единственной ячейки графена, составляет 487 мг. Расстояние между центрами соседних атомов настоящего графена \(0{,}142\) нм (нанометр – это одна миллионная часть миллиметра). Площадь \(S\) правильного шестиугольника с длиной стороны \(a\) определяется по формуле: \(S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\), где \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСколько шариков и сколько проволочек приходится на одну ячейку? Найдите массу одной ячейки модели и число ячеек по площади.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветМасса модели графена равна \(\approx 1{,}8\) кг.
Плотность оксида хрома
3/10По рисунку элементарной ячейки считается число атомов в ячейке с учётом долей, принадлежащих соседям; масса ячейки через атомные единицы делится на объём куба.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Растворяющийся кристалл соли
5/10Вес кристалла в воде известен; две трети растворились, плотность раствора меняется, а с ней архимедова сила на остаток; сравнить новый вес с P/3.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Соль (хлорид натрия)
6/10Определить плотность порошка и кристаллов NaCl и α в насыщенном растворе по объёмам; из плотности кристалла и молярных масс оценить расстояние между соседними ионами решётки; оценить погрешности.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.