Зубчатые колёса между рейками

Движение колес представляет собой вращение и поступательное движение, а скорости различных точек колес складываются из скоростей этих двух движений. Используя эти соображения найдем скорости движения колес. Пусть левое колесо движется направо со скоростью \(v_1\) и вращается по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega_1\) (если какая-то из этих величин, найденная из нижеследующей системы уравнений, окажется отрицательной, направление движения или вращения колеса будет противоположным). Поскольку в системе отсчета, связанной с центром колеса, оно только вращается, скорость верхней точки колеса равна \(v_1+\omega_1R\), нижней — \(v_1-\omega_1R\). А так как скорости верхней и нижней точек левого колеса совпадают со скоростями верхней и нижней реек, для \(v_1\) и \(\omega_1\) имеем: \[\begin{align*} v_1 + \omega_1\dfrac{5}{4}R &= v,\\ v_1 - \omega_1\dfrac{5}{4}R &= 0. \end{align*}\] Отсюда находим \[v_1 = \dfrac{1}{2}v.\] Пусть правое колесо также движется направо со скоростью \(v_2\) и вращается по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega_2\). Тогда \[\begin{align*} v_2 + \omega_2\dfrac{5}{4}R &= v,\\ v_2 - \omega_2\dfrac{3}{4}R &= 0. \end{align*}\] Отсюда \[v_2 = \dfrac{3}{8}v,\] т.е. скорость правого колеса меньше скорости левого. Поэтому колеса сближаются, и скорость центра правого колеса относительно центра левого равна \[u = v_1 - v_2 = \dfrac{1}{8}v.\]