Двойное взвешивание по Гауссу

Пусть одно плечо весов — \(l_1\), второе — \(l_2\), но весы уравновешены. Тогда при взвешивании объекта на одной чаше весов имеем \[m_1l_1 = ml_2,\] а на другой \[ml_1 = m_2l_2.\] где \(m\) — масса взвешиваемого объекта, \(m_1\) и \(m_2\) — массы гирь, уравновешивающих объект на одной и на другой чашах весов. Деля эти уравнения друг на друга и выражая из получившегося уравнения \(m\), получим \[m = \sqrt{m_1m_2}.\tag{*}\] С другой стороны, поскольку неравноплечность хороших весов невелика, разность масс \(m_1\) и \(m_2\) много меньше самих этих масс и, следовательно, среднее геометрическое близко к среднему арифметическому \[\sqrt{m_1m_2} \approx \dfrac{m_1+m_2}{2}\tag{**}\] Причем погрешность, которую мы совершаем, заменяя среднее геометрическое на среднее арифметическое, квадратична по малой разности \(m_1-m_2\) \[\dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{m_1+m_2-2\sqrt{m_1m_2}}{m_1+m_2} = \dfrac{\left(\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}\right)^2}{m_1+m_2} \approx \left(\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^2\] что и оправдывает переход от среднего геометрического к среднему арифметическому.