Рычаги и простые механизмы

Неравноплечий рычаг находится в равновесии. Если к левому концу рычага прикрепить груз, а к правому концу рычага — гирю массой 4 кг, то равновесие не нарушится. Если этот груз прикрепить к правому концу рычага, то, чтобы уравновесить рычаг, к его левому концу надо прикрепить гирю массой 9 кг. Найдите массу груза (в кг).

Девочки нашли доску длиной 3,5 метра и хотят сделать качели, положив ее центром на камень. Однако качели не получились, потому что масса одной девочки — 30 кг, а другой — 40 кг. На каком расстоянии от края доски следовало поместить камень, чтобы доска с сидящими девочками была в равновесии? Ответ выразите в метрах и округлите до целых.

На рисунке показан спортсмен, который стоит на трамплине и готовится к выполнению прыжка с места. Масса спортсмена 58 кг. Лёгкая доска трамплина лежит на двух опорах, которые находятся на расстоянии \(d=1{,}5\) м друг от друга. Её длина равна \(L=4{,}5\) м. Ускорение свободного падения считать равным 10 Н/кг.

1. Левая опора действует на доску с силой \(F_1\), направленной: А) вверх; Б) вниз.

2. Чему равна сила \(F_1\). Ответ выразите в Н (ньютонах), округлите до целого числа.

3. Правая опора действует на доску с силой \(F_2\), направленной: А) вверх; Б) вниз.

4. Чему равна сила \(F_2\). Ответ выразите в Н (ньютонах), округлите до целого числа.

На рисунке изображен легкий жесткий стержень длиной \(3a\), к которому на расстоянии \(a\) от одного из концов прикреплена невесомая нить, перекинутая через блок. К противоположному концу нити прикреплен груз массой \(M = 3\) кг. К концам стержня прикреплены грузы 1 и 2. Найдите массы \(m_1\) и \(m_2\) этих грузов, если система находится в равновесии, и трения в оси блока нет.

На рисунке изображен легкий горизонтальный жесткий стержень длиной \(3a\), к которому на расстояниях \(a\) и \(2a\) от одного из концов прикреплены вертикальные нити, перекинутые через блоки. К противоположным концам нитей прикреплены грузы массами \(m_1\) и \(m_2\). К концам стержня прикреплены грузы массами \(m_3\) и \(m_4\). Известно, что \(m_1 = 1\) кг и \(m_3 = 2\) кг. Какими должны быть массы \(m_2\) и \(m_4\), чтобы система находилась в равновесии?

На невесомый стержень длиной 9 м прикрепляют грузы: груз массой 3 кг — к одному концу, груз массой 2 кг — к другому, и груз массой 4 кг — к середине. На каком расстоянии от груза массой 3 кг должна находиться точка подвеса, чтобы получившаяся система находилась в равновесии? Ответ выразите в метрах и округлите до целых.

На невесомый стержень длиной 0,9 м прикрепляют грузы: груз массой 3 кг — к одному концу, груз массой 2 кг — к другому, и груз массой 4 кг — к середине. На каком расстоянии от груза массой 3 кг должна находиться точка подвеса, чтобы получившаяся система находилась в равновесии? Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых.

К правому концу \(A\) стержня, масса которого пренебрежимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый шарик. Стержень положили на край сосуда с водой (как показано на рисунке), а к точке \(B\), находящейся на расстоянии \(l_1 = 50\) см слева от точки опоры \(O\), подвесили груз такой массой \(m\), что шарик оказался погруженным в воду на половину своего объёма. На какую часть своего объёма окажется погруженным в воду этот шарик, если груз \(m\) перевесить из точки \(B\) в точку \(C\), находящуюся на расстоянии \(l_2 = 60\) см слева от точки \(O\)? Плотность алюминия \(\rho_{\text{а}} = 2700\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\).

При какой массе \(M\) однородного рычага возможно равновесие системы, показанной на рисунке? Масса грузов равна \(m\). Блок и нити невесомы.

Человек держит шар для боулинга массой 7,2 кг на ладони, как показано на рисунке. Его плечо вертикально, а предплечье (нижняя часть руки), масса которого равна 1,8 кг (вместе с ладонью), находится в горизонтальном положении. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\).

1. С какой силой действует бицепс на предплечье? Ответ выразите в Н, округлите до десятков.

2. С какой силой взаимодействуют плечевая и локтевая кости в месте контакта? Ответ выразите в Н, округлите до десятков.

На легком горизонтальном рычаге с двумя опорами находятся пустые легкие бочки. Расстояние от оси левой бочки до левой опоры \(a = 2\) метра, от оси правой бочки до правой опоры — \(c = 3\) метра, расстояние между опорами \(b = 1\) метр. В обе бочки одновременно начинают наливать с небольшой скоростью воду из разных кранов. Как должны соотноситься скорости \(v_1\) и \(v_2\) наполнения бочек, то есть массы воды, поступающие в единицу времени в каждую бочку, чтобы система оставалась в равновесии?

Грузы массой 1 кг и 2 кг уравновесили на рычаге массой 1 кг и длиной 1 м. Каково расстояние от груза большей массы до точки подвеса? Ответ представьте в сантиметрах и округлите до десятых.

На легком рычаге уравновешены два цилиндра, имеющие одинаковые размеры. При этом точка опоры делит рычаг в отношении 1 к 3, а цилиндры погружены в жидкость (левый — на треть, а правый — на две трети объема). Плотность левого цилиндра \(\rho_1 = 4{,}0\) г/см\(^3\), а правого \(\rho_2 = 2{,}2\) г/см\(^3\). Определите плотность жидкости \(\rho\).

На легком рычаге уравновешены два цилиндра, имеющие одинаковые размеры. При этом точка опоры делит рычаг в отношении 2 к 3, а цилиндры погружены в жидкость (левый — на две трети, а правый — на треть объема). Плотность левого цилиндра \(\rho_1 = 4{,}0\) г/см\(^3\), а правого \(\rho_2 = 2{,}5\) г/см\(^3\). Определите плотность жидкости \(\rho\).

В последние годы стали популярны выставки, на которых демонстрируют простейшие механизмы, якобы сделанные по чертежам Леонардо да Винчи. На фотографиях показан экспонат одной из таких выставок: он называется червячная передача. Какой выигрыш в силе (без учета трения) даёт это устройство? Считайте, что длина ворота (от ручки до горизонтальной оси) в два раза больше диаметра барабана, на который наматывается веревка.

На рисунке изображена конструкция, которая находится в равновесии и состоит из нитей, стержней и четырёх грузов массами 100 г, 200 г, 800 г и \(m_x\), причём 200 г \(< m_x <\) 800 г. Считайте, что массы нитей и стержней пренебрежимо малы по сравнению с массами грузов.

1. Напротив каждой массы напишите номер груза. Грузы: 100 г; 200 г; \(m_x\); 800 г.

2. Чему равна масса \(m_x\)? Ответ выразите в граммах, округлите до целого числа.

3. Какой стержень, если бы был массивным и однородным, не нарушил равновесия конструкции? Варианты: А; В; С.

На жёсткой лёгкой планке лежат 11 одинаковых грузов, так что расстояние между любыми двумя соседними грузами равно 1 см, а опора, на которой уравновешена планка, расположена посередине планки (рис. ниже). Любой груз можно переместить, поставив его сверху на любой другой груз. Описанную операцию можно проделать любое количество раз. Требуется расположить грузы так, чтобы система находилась в равновесии и справа от опоры располагалось максимально возможное количество грузов. В процессе перестановки грузов планку удерживают в горизонтальном положении.

1. Сколько грузов окажется в итоге справа от опоры?

2. Какое максимальное количество грузов может находиться на расстоянии 2 см от опоры?

Серый Волк, встретив Красную Шапочку на опушке леса, узнал, что в доме ее бабушки лесорубы установили новую систему открывания двери. Волк настолько заинтересовался инновацией, что решил не есть ни бабушку, ни Красную Шапочку, а подробно узнать все детали современной конструкции, зачем и отправился к бабушке вместе с Красной Шапочкой. Оказалось, что система (см. рисунок) состоит из тяжелой деревянной балки, способной с помощью троса равномерно передвигаться по шероховатой рейке (по словам лесорубов, на балку при скольжении действует сила трения 320 Н). Трос соединен при помощи системы легких блоков и веревок с рычагом. Трение в осях блоков охотники ликвидировали с помощью смазки. Рычаг пропущен сквозь стену, где закреплен на скрипучей опоре. Плечи рычага соотносятся как 1:4. Дверь открылась, когда Красная Шапочка «потянула за веревочку», привязанную к другому концу рычага, с силой 25 Н. Определите КПД такой системы. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с\(^2\).

К левому концу невесомого стержня длиной 70 см прикрепили нить с грузом массой 2 кг, к правому концу — нить с грузом массой 1 кг. Плотность материала грузов 3 г/см\(^3\). Груз меньшей массы погружен в воду полностью, груз большей массы — на половину его объема. На каком расстоянии от груза массой 2 кг должна находиться точка подвеса стержня, чтобы получившаяся система находилась в равновесии? Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых. Грузы в воде не касаются дна сосуда.

К концам легкого стержня длиной 30 см прикреплены два шарика одинакового объема. Плотность первого шарика составляет 3 г/см\(^3\). Чтобы стержень находился в равновесии в воздухе, его надо подвесить на нити на расстоянии 12 см от первого шарика. Чтобы этот же стержень находился в равновесии в жидкости, его надо подвесить на нити на расстоянии 10 см от первого шарика. Определите плотность второго шарика и плотность жидкости.

Экспериментатор проводит опыты с однородной деревянной линейкой длиной 40 см и грузиком. Оказалось, что если уравновешивать линейку с грузиком на краю стола, то линейка начинает падать, когда длина её выступающей части превосходит 10 см (грузик при этом подвешивают на нитку за конец линейки). Если же при этом опустить грузик в стакан с водой, плотность которой равна 1000 кг/м\(^3\), эта длина становится равной 15 см (грузик при этом оказывается полностью погружён в воду). Определите отношение массы груза к массе линейки и плотность груза.

Экспериментатор проводит опыты с однородной деревянной линейкой длиной 40 см и грузиком. Оказалось, что если уравновешивать линейку с грузиком на краю стола, то линейка начинает падать, когда длина её выступающей части превосходит 10 см (грузик при этом подвешивают на нитку за конец линейки). Если же при этом опустить грузик в стакан с водой, плотность которой равна 1000 кг/м\(^3\), эта длина становится равной 15 см (грузик при этом оказывается полностью погружён в воду). Определите отношение массы груза к массе линейки и плотность груза.

Экспериментатор проводит опыты с однородной деревянной линейкой длиной 40 см и грузиком. Оказалось, что если уравновешивать линейку с грузиком на краю стола, то линейка начинает падать, когда длина её выступающей части превосходит 10 см (грузик при этом подвешивают на нитку за конец линейки). Если же при этом опустить грузик в стакан с водой, плотность которой равна 1000 кг/м\(^3\), эта длина становится равной 15 см (грузик при этом оказывается полностью погружён в воду). Определите отношение массы груза к массе линейки и плотность груза.

К правому концу \(A\) стержня, масса которого пренебрежимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый шарик. Стержень положили на край сосуда с машинным маслом (как показано на рисунке), а к точке \(B\), находящейся на расстоянии \(l_1 = 50\) см слева от точки опоры \(O\), подвесили груз массой \(m_1 = 2{,}3\) кг. При этом шарик оказался погружен в масло на половину своего объема. Затем груз \(m_1\) сняли, а стержень с шаром перенесли и положили на край сосуда с водой так, что точка опоры \(O\) осталась прежней. Груз какой массой \(m_2\) надо подвесить к другому концу стержня \(C\), находящемуся на расстоянии \(l_2 = 110\) см от точки \(O\), чтобы алюминиевый шарик снова оказался погруженным на половину своего объёма? Плотности алюминия, машинного масла и воды равны \(\rho_{\text{а}} = 2700\) кг/м\(^3\), \(\rho_{\text{м}} = 800\) кг/м\(^3\) и \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), соответственно. Перед погружением шарика в воду его тщательно протерли от масла.

Массивный стержень покоится на подставке, опираясь одним концом на гладкий пол. На другом конце стержня укреплена чаша массой 200 г, внутри которой находится песок массой 400 г (см. рисунок). После того, как в чаше сделали небольшое отверстие, из неё на пол начинает высыпаться песок с постоянным массовым расходом 15 г/c. Масса стержня 2,4 кг. Ускорение свободного падения \(g=10\) Н/кг.

1. Гладкий стол действует на стержень силой, направленной: 1 — вертикально вверх; 2 — вверх, перпендикулярно стержню.

2. Сила, с которой стержень действует на пол, с течением времени: 1 — увеличивается; 2 — уменьшается.

3. Найдите силу, с которой стержень действует на пол, через 5 с после начала высыпания песка? Ответ укажите в ньютонах и округлите до сотых.

Безмен "— это ручные весы для взвешивания грузов небольшой массы. Один из вариантов конструкции безмена можно видеть на рисунке. Безмен состоит из металлического коромысла, закреплённого на коромысле противовеса (на левом конце коромысла) и подвижной гири (справа). На крючок подвешивается груз, массу которого надо узнать, а положение гири подбирается таким образом, чтобы в равновесии коромысло располагалось горизонтально. Показания безмена, изображённого на рисунке, равны 4 кг. Рядом с ним находится сантиметровая линейка.

Известно, что если с этого безмена снять гирю и подвесить его за ось, к которой был привязан крючок, иначе говоря, перевернуть (рис. ниже), то в положении равновесия коромысло будет располагаться горизонтально.

Определите по этим данным массу гири \(m\) и массу \(M\) остальной конструкции (безмена без гири и взвешиваемого груза).

На неоднородном рычаге, установленном на опору, стоит вертикальный сосуд прямоугольного сечения. Слева рычаг привязан тонкой невесомой нитью к жесткому основанию. При этом нить не натянута, рычаг горизонтален.

В сосуд кладут кусок льда, после чего нагревают его содержимое с постоянной мощностью (тепловыми потерями, а также теплоёмкостью сосуда можно пренебречь). Одновременно с этим строят график зависимости силы натяжения нити от времени (начало графика совпадает с моментом начала нагрева). График приведён на рисунке. Один из участков графика утерян по неосторожности экспериментатора (на него пролилась тушь).

Определите, что произошло в конце утерянного участка графика (момент перелома). А также найдите:

1. массу \(m\) куска льда;

2. мощность \(P\), с которой нагревали содержимое сосуда;

3. начальную температуру \(t_0\) льда.

Отметки на рычаге делят его на 8 равных по длине частей. Боковая грань сосуда параллельна плоскости рисунка.

Справочные данные: удельная теплоёмкость льда 2100 Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг, удельная теплота парообразования воды 2300 кДж/кг.

На весах подвешены шарики одинакового объема плотностями 3000 кг/м\(^3\) и 4000 кг/м\(^3\). В жидкость с какой плотностью следует поместить более тяжелый шарик, чтобы весы были в равновесии? Ответ дайте в кг/м\(^3\).

Мышцы плеча крепятся сухожилием к локтю за 4 см до сустава, расстояние от сустава до центра ладони 40 см. В руке, согнутой под прямым углом, человек может удержать груз массой 16 кг. Какова при этом сила напряжения мышц плеча? Ответ представьте в килоньютонах и округлите до десятых. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\).

С какой вертикально направленной силой \(F\) следует удерживать груз массой \(m_1\) для того, чтобы изображенная на рисунке конструкция из блока, невесомых нитей, легкого стержня и грузов находилась в равновесии? Массы грузов \(m_1 = 1\) кг, \(m_2 = 2\) кг, \(M = 3\) кг. Трения в оси блока нет. Ускорение свободного падения принять равным \(10\text{ м/с}^2\).

Два шарика равных объемов, сделанные из материалов с плотностями 2 г/см\(^3\) и 3 г/см\(^3\), соединены тонким невесомым стержнем длиной 15 м. Затем вся система помещена в жидкость плотностью 1 г/см\(^3\). На каком расстоянии от шарика плотностью 2 г/см\(^3\) надо подвесить стержень, чтобы он находился в равновесии в горизонтальном положении? Ответ выразите в метрах.

В газе плотностью 1 кг/м\(^3\) находятся два воздушных шарика: один средней плотностью 0,5 кг/м\(^3\) и объемом 1 дм\(^3\), а другой, неизвестного объема, — средней плотностью 0,75 кг/м\(^3\). Система из рычага с равными плечами и этими шариками, подвешенными за концы рычага, находится в равновесии. Найдите объем второго шарика. Ответ представьте в дм\(^3\) и округлите до целых.

В газе плотностью \(1\) кг/м\(^3\) находятся два воздушных шарика: один средней плотностью \(0{,}5\) кг/м\(^3\) и объемом \(1\) дм\(^3\), а другой, неизвестного объема, — средней плотностью \(0{,}75\) кг/м\(^3\). Система из рычага с равными плечами и этими шариками, подвешенными за концы рычага, находится в равновесии. Найдите объем второго шарика. Ответ представьте в дм\(^3\) и округлите до целых.

Рабочий удерживает за один конец бревно так, что этот конец находится на уровне живота рабочего, а второй конец бревна лежит на земле. При этом рабочему приходится действовать на бревно вертикальной силой 100 Н. Если рабочий положит бревно на землю, подойдёт к противоположному концу бревна, поднимет его и будет держать на уровне головы, то окажется, что он действует на бревно вертикальной силой 300 Н. Найдите массу бревна. Ускорение свободного падения \(g = 10\) Н/кг. Ответ выразите в кг, округлите до целого числа.

На горизонтальной поверхности лежит стопка кирпичей, так, как показано на рисунке. Площадь соприкасающихся участков кирпичей очень мала (много меньше площадей всех граней кирпичей). Все кирпичи однородные и имеют одинаковый вес \(P = 25\) Н.

Вычислите, с какой силой каждый кирпич из нижнего ряда давит на поверхность.

Школьник Вася решил взвесить с помощью железных гирь найденный им недалеко от озера Чебаркуль небольшой кусок челябинского метеорита, используя симметричные равноплечие весы, сделанные из железа. В воздухе взвешивание дало результат \(M = 2{,}1\) кг. Когда весы были полностью погружены в воду озера, результат был другим — для уравновешивания весов потребовалось положить на них гири, суммарная масса которых оказалась равной \(m = 1{,}8\) кг. При этом и взвешиваемое вещество, и гири также были полностью погружены в воду. Чему равна плотность материала метеорита? Плотность железа равна \(\rho_\text{ж} = 7{,}9\text{ г/см}^3\), плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\text{ г/см}^3\).

Два тела покоятся на невесомом стержне, как показано на рисунке. После того, как тела полностью погрузили в воду, для сохранения равновесия стержня их пришлось поменять местами. Найти плотности тел \(\rho_1\) и \(\rho_2\), если \(\rho_2/\rho_1 = 2\). Плотность воды равна 1 г/см\(^3\).

Рисунок справа, на котором изображён погрузчик для работы с контейнерами («ричстакер»), воспроизводит схему из буклета производителя, китайской фирмы «Sany». Прямоугольники символизируют контейнеры, масса которых указана в тоннах. Линейные размеры даны в миллиметрах. Масса этого ричстакера составляет 72 тонны, расстояние между осями передних и задних колёс равно 6 м, внешний диаметр покрышки колеса равен 1670 мм. Рисунок показывает, что при данном расположении погрузчик может приподнять любой из изображённых контейнеров (предварительно убрав другие). При этом угол наклона стрелы и её длина могут изменяться.

1. Пусть ричстакер «разбирает» ближайшую к себе стопку контейнеров. На какую максимальную величину изменяется сила давления передних колёс на поверхность земли в момент, когда погрузчик приподнимает контейнер из этой стопки? Считайте, что в момент подъёма каждого из контейнеров положение погрузчика в точности совпадает с показанным на рисунке.

2. На каком расстоянии по горизонтали от оси заднего колеса может располагаться центр тяжести погрузчика, если для его безопасной работы необходимо, чтобы сила давления пары колёс (передних или задних) всегда была не меньше шестой части веса погрузчика?

Считайте, что при изменении длины стрелы и её наклона центр тяжести погрузчика по горизонтали практически не смещается, ускорение свободного падения равно \(g = 10\) Н/кг.

Два горизонтальных лёгких стержня длиной 80 см каждый прикреплены к стене на шарнирах друг над другом. У верхнего стержня шарнир находится посередине, у нижнего на расстоянии 20 см от правого конца. Концы стержней соединены нерастяжимыми нитями. На левом конце верхнего стержня лежит груз массой 2 кг. Система находится в равновесии.

1. Чему равно натяжение левой нити? Ответ выразите в Н, округлите до целого числа.

2. Чему равно натяжение правой нити? Ответ выразите в Н, округлите до целого числа.

Два горизонтальных лёгких стержня длиной 60 см каждый прикреплены к стене на шарнирах друг над другом. У верхнего стержня шарнир находится посередине, у нижнего на расстоянии 20 см от правого конца. Концы стержней соединены нерастяжимыми нитями. На левом конце верхнего стержня лежит груз массой 1 кг. Система находится в равновесии.

1. Чему равно натяжение левой нити? Ответ выразите в Н, округлите до целого числа.

2. Чему равно натяжение правой нити? Ответ выразите в Н, округлите до целого числа.

Система, изображённая на рисунке, состоит из двух подвижных блоков, одного неподвижного двухступенчатого блока, двух грузов и нити. Двухступенчатый блок состоит из лёгких, жёстко соединённых дисков с общей осью, диаметры которых равны 15 см и 30 см. Массы грузов равны \(m = 1\text{ кг}\) и \(M = 3\text{ кг}\). Массами нитей и блоков, а также трением в осях блоков можно пренебречь, нить не проскальзывает по поверхностям блоков.

1. (3 балла) Пусть в точке \(A\) к нити приложена такая сила \(F\), что система находится в равновесии. Куда направлена и чему равна эта сила?

2. (4 балла) Можно ли привести систему в состояние равновесия, действуя с некоторой вертикальной силой на нить в точке \(A\), если поверхность двухступенчатого блока гладкая (так что нить по ней проскальзывает)? Ответ объясните.

На фотографии из «Википедии» вы видите домкрат, используемый для подъема тяжелых грузов. В проушину на конце винта вставляют металлический стержень длиной 30 см, с помощью которого вращают винт. Мы хотим, используя домкрат, приподнять автомобиль массой 1200 кг, так, чтобы два колеса не касались земли. Известно, что подходящая для подъёма автомобиля высота домкрата 20 см равна расстоянию между шарнирами, в которых закрепляется винт. Общая длина винта 50 см, на ней укладывается 100 витков резьбы.

1. С какой минимальной силой необходимо вращать стержень, вставленный в проушину, чтобы приподнять автомобиль? Ответ выразите в Н, округлите до целого числа.

2. Во сколько раз увеличится минимальная сила, если шаг резьбы увеличить вдвое? Ответ округлите до целого числа.