Откачиваемый сосуд с трещинами

В установившемся режиме для каждого сорта молекул (воздуха и пара) приход через трещины равен тому, что уносит насос. Составьте это условие для обоих сортов и сравните.

\(p_{\text{п}}'=p_{\text{у}}\,\dfrac{\varphi p_{\text{н}}}{p_0}\approx1{,}8\cdot10^{-5}\) мм рт. ст. (\(\approx2{,}5\cdot10^{-3}\) Па).

Что происходит. Через микротрещины в сосуд просачивается воздух вместе с водяным паром, насос выкачивает смесь. Давление внутри устанавливается, когда приход молекул равен их уходу. Главная идея: приход и уход проходят отдельно для каждого сорта молекул, а условия для обоих сортов одинаковы, поэтому внутри смесь получается того же состава, что и снаружи.

Обозначения. Величины внутри сосуда — со штрихом: \(n_i'\) — концентрация молекул сорта \(i\) внутри, \(n_i\) — снаружи; сорта — воздух (в) и пар (п). Температура везде одна.

1. Пар снаружи. Относительная влажность — отношение парциального давления пара к давлению насыщенного пара при той же температуре, \(\varphi=p_{\text{п,нар}}/p_{\text{н}}\). Парциальное давление пара в воздухе снаружи: \[p_{\text{п,нар}}=\varphi p_{\text{н}}=0{,}8\cdot17{,}5\text{ мм рт. ст.}=14\text{ мм рт. ст.}\] Это \(14/760\approx1{,}8\ \%\) от давления воздуха \(p_0\) (закон Дальтона: давление смеси — сумма парциальных).

2. Баланс молекул каждого сорта. В единицу времени сорт \(i\) втекает в сосуд через трещины и откачивается. Поток внутрь пропорционален концентрации этих молекул снаружи: \(\Phi_i^{\text{вх}}=\alpha n_i\). Обратным потоком из сосуда пренебрегаем: давление внутри в \(10^6\) раз меньше. Насос уносит из сосуда за секунду одну и ту же долю содержимого, не различая сорта: \(\Phi_i^{\text{нас}}=\beta n_i'\). В установившемся режиме для каждого сорта \(\Phi_i^{\text{вх}}=\Phi_i^{\text{нас}}\), значит \[n_i'=\frac{\alpha}{\beta}\,n_i ,\qquad\text{и для воздуха, и для пара одним и тем же множителем}\ \frac\alpha\beta .\] Давление пропорционально концентрации при той же температуре, \(p=nkT\), поэтому \(p_i'=\dfrac{\alpha}{\beta}p_i\).

3. Множитель из полного давления. Для суммы всех сортов то же соотношение связывает давления внутри и снаружи: \(p_{\text{у}}=\dfrac\alpha\beta\,p_0\), откуда \(\dfrac\alpha\beta=\dfrac{p_{\text{у}}}{p_0}=\dfrac{0{,}001}{760}\approx1{,}3\cdot10^{-6}\). Давление пара внутри: \[p_{\text{п}}'=\frac{p_{\text{у}}}{p_0}\,\varphi p_{\text{н}}=\frac{0{,}001}{760}\cdot14\text{ мм рт. ст.}\approx1{,}8\cdot10^{-5}\text{ мм рт. ст.}\approx2{,}5\cdot10^{-3}\text{ Па}.\] Обратите внимание: пар в сосуде далёк от насыщения (\(p_{\text{п}}'\ll p_{\text{н}}\)), поэтому он не конденсируется; давление \(p_{\text{н}}\) нужно только для пересчёта влажности в парциальное давление пара снаружи. Второе замечание: если бы трещины пропускали молекулы поодиночке (щель уже длины свободного пробега), множитель \(\alpha\) был бы пропорционален средней скорости молекул сорта \(i\) и разный у воздуха и пара; но та же скорость входит и в \(\beta\) насоса в таком режиме, и в отношении \(\alpha/\beta\) она сокращается.

Проверка. Размерность: давление умножается на безразмерное отношение \(p_{\text{у}}/p_0\cdot\varphi\). Предел \(\varphi\to0\): внутри пара нет, \(p_{\text{п}}'\to0\). Предел \(p_{\text{у}}\to p_0\) (сосуд не откачан): \(p_{\text{п}}'\to\varphi p_{\text{н}}=14\) мм рт. ст., как снаружи. Доля пара в смеси внутри та же \(1{,}8\ \%\) и совпадает с долей снаружи, как и должно быть при одинаковом множителе для обоих сортов.

Ответ: \(p_{\text{п}}'=p_{\text{у}}\dfrac{\varphi p_{\text{н}}}{p_0}\approx1{,}8\cdot10^{-5}\) мм рт. ст.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.