Лодка на нити с грузом

Сила сопротивления воды растёт со скоростью, поэтому скорость лодки подходит к предельному значению. Посмотрите, как меняются соседние разности записанных скоростей, и подберите закон, который их описывает.

\(v(0{,}1\text{ с})\approx0{,}32\text{ см/с}\).

Что происходит. Груз тянет лодку вниз по нити, вода тормозит её. Пока скорость мала, натяжение и вес груза побеждают сопротивление, лодка разгоняется; чем она быстрее, тем сильнее сопротивление, и скорость подходит к предельной. Записанный конец разгона нужен, чтобы найти закон сопротивления и параметры движения, а затем «вернуться» к началу, к \(t=0\), когда лодка стояла.

Обозначения. \(M\) — масса лодки, \(m\) — масса груза, \(v\) — скорость лодки (она же скорость груза: нить нерастяжима), \(F_{\text{с}}\) — сила сопротивления воды, \(T\) — натяжение нити. Нить тонкая, блок лёгкий, трения в блоке нет, поэтому натяжение одинаково по всей нити.

1. Закон движения. Запишем второй закон Ньютона для лодки в проекции на ось вдоль канала и для груза в проекции на вертикаль вниз (ускорение \(a=dv/dt\) у них одно). Вертикальные силы на лодку (тяжесть и Архимедова сила) уравновешены: \[Ma=T-F_{\text{с}},\qquad ma=mg-T .\] Сложим уравнения: натяжение исчезает, и для системы лодка + груз \[(M+m)\,\frac{dv}{dt}=mg-F_{\text{с}}(v).\]

2. Какое сопротивление. Закон \(F_{\text{с}}(v)\) в условии не сказан, его надо найти по записи. Если \(F_{\text{с}}=kv\), то уравнение линейно, и скорость стремится к \(v_\infty=mg/k\) по закону \[v=v_\infty\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),\qquad \tau=\frac{M+m}{k}.\] Проверим это по данным. Скорость записывали через равные промежутки \(\Delta=1\) с. Для такого закона \(v_\infty-v\) убывает в одно и то же число раз \(q=e^{-\Delta/\tau}\) за каждый промежуток, значит, и разности соседних записей \(\Delta v_n=v_{n+1}-v_n\) образуют геометрическую прогрессию: \[\Delta v_n:\quad 0{,}79;\ 0{,}52;\ 0{,}35;\ 0{,}23;\ 0{,}16;\ 0{,}10;\ \dots,\qquad \frac{\Delta v_{n+1}}{\Delta v_n}\approx\frac23 .\] Отношения \(0{,}66\); \(0{,}67\); \(0{,}66\); \(0{,}70\); \(0{,}63\) близки друг к другу (последние разности \(0{,}01\) слишком малы для оценки). Значит, сопротивление действительно пропорционально скорости, \(q=2/3\).

3. Предельная скорость и время нарастания. За один промежуток \(v_\infty-v\) умножается на \(q\), поэтому \(\Delta v_n=(v_\infty-v_n)(1-q)\) и \[v_\infty=v_n+\frac{\Delta v_n}{1-q}=v_n+3\Delta v_n .\] Для первых записей: \(5{,}65+3\cdot0{,}79=8{,}02\); \(6{,}44+3\cdot0{,}52=8{,}00\); \(6{,}96+3\cdot0{,}35=8{,}01\); \(7{,}31+3\cdot0{,}23=8{,}00\). Получаем \(v_\infty=8{,}0\) см/с (согласуется с хвостом записи: \(7{,}97\to8{,}0\)). Время нарастания \[\tau=\frac{\Delta}{\ln(1/q)}=\frac{1\text{ с}}{\ln1{,}5}\approx2{,}5\text{ с}.\] Запись начинается примерно через \(\tau\ln\dfrac{v_\infty}{v_\infty-5{,}65}\approx3\) с после старта и идёт до \(14\) с: на рисунке точки — записи, кривая — найденный закон.

4. Скорость через \(0{,}1\) с. Лодку отпустили без начальной скорости, \(v(0)=0\), значит, закон из п. 2 выполняется с самого начала: \[v(0{,}1\text{ с})=v_\infty\bigl(1-e^{-0{,}1/\tau}\bigr)=8{,}0\text{ см/с}\cdot\bigl(1-e^{-0{,}04}\bigr)\approx0{,}32\text{ см/с}.\] Тот же результат даёт начальное ускорение \(a_0=v_\infty/\tau\approx3{,}2\text{ см/с}^2\) (касательная на рисунке): промежуток \(0{,}1\text{ с}\ll\tau\), сопротивление почти не успевает проявиться, \(v\approx a_0\cdot0{,}1\text{ с}=0{,}32\text{ см/с}\). Обратите внимание: продолжить записанные числа назад линейно нельзя: в начале записи скорость растёт на \(0{,}79\) см/с за секунду, а у старта — на \(3{,}2\) см/с за секунду, в четыре раза быстрее. Масс \(M\), \(m\) и коэффициента \(k\) мы так и не узнали, и они не нужны: хватило \(v_\infty\) и \(\tau\).

Проверка. Размерность: показатель экспоненты \(t/\tau\) безразмерен, \(v\) измеряется в см/с. Предел \(t\to0\): \(v\to0\), как и должно быть при старте из покоя. Предел \(t\to\infty\): \(v\to v_\infty=8\) см/с, а хвост записи (\(7{,}96\); \(7{,}97\)) уже почти там. Второй способ: из формулы \(v=v_\infty(1-e^{-t/\tau})\) при \(t=3\) с получаем \(8(1-e^{-3/2{,}47})\approx5{,}6\) — первая запись (\(5{,}65\)) воспроизводится, значит, и начало разгона описано верно.

Ответ: \(v(0{,}1\text{ с})=v_\infty\bigl(1-e^{-0{,}1/\tau}\bigr)\approx0{,}32\text{ см/с}\) (\(v_\infty=8{,}0\) см/с, \(\tau\approx2{,}5\) с).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.