Ванна с двумя кранами

Течение воды по трубам подчиняется закону, похожему на закон Ома: расход пропорционален перепаду давления. Нарисуйте гидравлическую схему как электрическую и найдите сопротивление каждого элемента.

1) оба крана открыты: \(\tau=4{,}8\) мин;  2) оба крана и душ: \(\tau=10{,}8\) мин.

Что происходит. Вода идёт по трубе от водопровода к ванне. Для ламинарного течения расход пропорционален перепаду давления, как ток пропорционален напряжению. Поэтому кран, душ и общий носик работают как сопротивления, а водопровод — как источник с одним и тем же давлением \(p\) на оба крана. Главная идея — составить электрическую схему и считать по законам для цепей: последовательное сопротивление складывается, параллельное — по правилу проводимостей.

Обозначения. \(V\) — объём ванны, \(Q=V/\tau\) — расход (объём в единицу времени), \(p\) — избыточное давление в трубах до кранов (над атмосферным), \(r_{\text{х}}\), \(r_{\text{г}}\) — гидравлические сопротивления открытых кранов холодной и горячей воды, \(R\) — сопротивление шланга с душем. Расход через элемент \(Q=\Delta p/r\). Сопротивление общего носика без шланга считаем пренебрежимо малым: вода выходит из него под атмосферным давлением.

1. Четыре опыта с одним краном. Измеряем сопротивления в единицах \(p\cdot\text{мин}/V\), то есть \(Q=p/r\) даёт \(r=p/Q=p\tau/V\). Холодный кран, носик без шланга: давление \(p\) падает на одном сопротивлении, \(r_{\text{х}}=p\tau_1/V=8\). Тот же кран с душем: сопротивления соединены последовательно, \(r_{\text{х}}+R=p\tau_2/V=14\), откуда \(R=14-8=6\). Горячий кран: \(r_{\text{г}}=p\tau_3/V=12\); с душем \(r_{\text{г}}+R=18\), откуда снова \(R=18-12=6\). Сопротивление шланга получилось одним и тем же из двух независимых опытов, значит, модель описывает опыты.

2. Оба крана, без душа. Оба крана подключены к одному давлению \(p\) и выпускают воду в общий носик без сопротивления — они соединены параллельно, расходы складываются: \[Q=\frac pr_{\text{х}}+\frac p{r_{\text{г}}}=\frac V{\tau_1}+\frac V{\tau_3}\quad\Rightarrow\quad \frac1\tau=\frac1{\tau_1}+\frac1{\tau_3}=\frac18+\frac1{12}=\frac5{24}\ \text{мин}^{-1},\quad \tau=4{,}8\text{ мин}.\]

3. Оба крана и душ. Вода из двух параллельных кранов проходит через шланг: сопротивления кранов \(8\) и \(12\) дают общее \(r_{\text{х}}r_{\text{г}}/(r_{\text{х}}+r_{\text{г}})=96/20=4{,}8\), и последовательно с ним — шланг \(R=6\). Полное сопротивление \(4{,}8+6=10{,}8\), откуда \[\tau=\frac{V\,r_{\text{полн}}}{p}=10{,}8\text{ мин}.\] Обратите внимание: при двух кранах складываются расходы, то есть обратные времена, а не сами времена — поэтому получилось \(4{,}8\) мин, меньше каждого из \(8\) и \(12\) мин. Зато душ добавляет к времени одно и то же, \(6\) мин, при любой комбинации кранов: он стоит последовательно со всем, что перед ним, а полное сопротивление пропорционально времени наполнения.

Проверка. Предел: \(R\to0\) даёт \(4{,}8\) мин — ответ пункта 2. Знак: оба крана должны наполнять быстрее каждого по отдельности (\(4{,}8<8\) и \(4{,}8<12\)), а душ — замедлять (\(10{,}8>4{,}8\)); и одновременно \(10{,}8<14\), потому что два крана с душем лучше одного крана с душем. Размерность: \(\tau=V\cdot r_{\text{полн}}/p\), единицы времени.

Ответ: \(\tau=\dfrac{\tau_1\tau_3}{\tau_1+\tau_3}=4{,}8\) мин; с душем \(\tau'=\dfrac{\tau_1\tau_3}{\tau_1+\tau_3}+(\tau_2-\tau_1)=10{,}8\) мин.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.