Очистка воздуха от пыли электрическим полем

Маленькая пылинка в воздухе движется равномерно: сила со стороны поля уравновешена сопротивлением воздуха, пропорциональным скорости. Значит, скорость пылинки пропорциональна напряжённости поля в том месте, где она находится.

\(t=\dfrac{R\tau}{2H}=6\) с.

Что происходит. Заряженная пылинка в воздухе почти мгновенно приходит к установившейся скорости: сила со стороны поля уравновешивается сопротивлением воздуха. Для мелкой пылинки сопротивление \(F=kv\) (закон Стокса), поэтому скорость пропорциональна напряжённости: \(v=\mu E\) с постоянной \(\mu=q/k\), одной и той же для всех пылинок. В первом опыте поле однородно и скорость постоянна, это даёт \(\mu E_1\). Во втором скорость зависит от расстояния до оси, и время набирается интегрированием.

Обозначения. \(q\) — заряд пылинки, \(k\) — коэффициент сопротивления, \(v_1=\mu E_1\) — скорость пылинки в первом опыте, \(r\) — расстояние до оси. Силой тяжести пренебрегаем: в обычных условиях пыль оседает очень медленно, то есть гораздо медленнее, чем в поле.

1. Опыт 1: скорость пылинки. Вдоль оси пылинка движется равномерно со скоростью \(v_1\): \(qE_1=kv_1\). Вся пыль осела за \(\tau\); последней оседает пыль, стартовавшая с верхней крышки, она проходит высоту \(H\): \[v_1=\frac H\tau=\frac{1\text{ м}}{120\text{ с}}\approx8{,}3\text{ мм/с}.\]

2. Опыт 2: скорость на расстоянии \(r\). Поле проволоки направлено вдоль радиуса, \(E(r)\sim1/r\), а у стенки \(E(R)=E_1\), поэтому \(E(r)=E_1R/r\). В каждой точке для пылинки выполняется то же равенство сил, \(qE(r)=kv\), значит \[v(r)=\frac{q}{k}E(r)=v_1\frac Rr .\] Скорость тем больше, чем ближе пылинка к проволоке: поле там сильнее.

3. Время оседания пылинки, стартовавшей с расстояния \(r_0\). Рассмотрим малый промежуток \(dt\): пылинка смещается на \(dr=v(r)\,dt=v_1\dfrac Rr\,dt\), то есть \(r\,dr=v_1R\,dt\). Просуммируем от начала (\(r=r_0\)) до оседания на стенку (\(r=R\)): \[\int_{r_0}^{R}r\,dr=v_1R\int_0^{t}dt\quad\Rightarrow\quad \frac{R^2-r_0^2}{2}=v_1Rt,\qquad t=\frac{R^2-r_0^2}{2v_1R}.\] Положение пылинки со временем: \(r(t)=\sqrt{r_0^2+2v_1Rt}\) (график для \(r_0\to0\) и \(r_0=5\) см).

4. Вся пыль. Пыль заполняет весь цилиндр, поэтому последними оседают пылинки, стартовавшие у самой проволоки (\(r_0\to0\), проволока тонкая): \[t=\frac{R}{2v_1}=\frac{R\tau}{2H}=\frac{0{,}1\text{ м}\cdot120\text{ с}}{2\cdot1\text{ м}}=6\text{ с}.\] Обратите внимание: нельзя брать \(t=R/v_1=12\) с, как если бы скорость была везде равна \(v_1\): у оси она больше, и пылинка там идёт быстрее, чем у стенки. Значения \(E_1\) и самого заряда \(q\) в ответ не входят: они сокращаются через \(v_1=H/\tau\).

Проверка. Размерность: \(R\tau/H\) — время. Оценка сверху: внутри цилиндра \(v(r)\ge v_1\), значит, время меньше \(R/v_1=R\tau/H=12\) с; полученные \(6\) с этому не противоречат. Второй способ: \(t=\int_0^R dr/v(r)=\int_0^R\dfrac{r\,dr}{v_1R}=\dfrac{R}{2v_1}\), то же число. Физический смысл: второй способ очистки в двадцать раз быстрее первого, потому что пылинкам надо пройти \(0{,}1\) м вместо \(1\) м, да ещё и в более сильном поле.

Ответ: \(t=\dfrac{R\tau}{2H}=6\) с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.