Лампочка и две батарейки

Лампочка нелинейна, но при каждом токе на ней вполне определённое напряжение, и его можно прочитать по графику. Если бы в цепи, кроме лампочки, не было сопротивления, при замыкании лампочки ток был бы бесконечным. Значит, у источников и амперметра есть сопротивление, и его надо найти из двух опытов.

\(I_{\text{кз}}\approx48\) мА (значения \(U_1\) и \(U_2\) считаны по графику, погрешность порядка \(2\) мА).

Что происходит. В цепи один контур: батарейка \(\mathcal{E}=9\) В, батарейка \(\mathcal{E}_x\) включена против неё (так показано на рисунке 3; это же следует из того, что переворот увеличивает ток), амперметр и лампочка. Лампочка нелинейна, но при токе \(I_1\) на ней вполне определённое напряжение \(U_1\), при \(I_2\) — \(U_2\); оба считываем с графика. Разность между ЭДС и напряжением на лампочке падает на сопротивлении \(r\) остальной части цепи (внутренние сопротивления батареек и амперметра, подводящих проводов). Неизвестных два: \(\mathcal{E}_x\) и \(r\), два опыта дают два уравнения.

Обозначения. \(r\) — суммарное сопротивление источников и амперметра, \(U_1\), \(U_2\) — напряжения на лампочке при токах \(I_1\), \(I_2\), \(I_{\text{кз}}\) — ток при замкнутой лампочке. Лампочка в схеме одна и та же, её характеристика от направления ЭДС не зависит.

1. Напряжения на лампочке. По рисунку 4 при \(I_1=20\) мА получаем \(U_1\approx3{,}1\) В, при \(I_2=35\) мА — \(U_2\approx8{,}9\) В (точки \(A\) и \(B\) на графике решения).

2. Закон Ома для контура в двух опытах. Исходная схема: ЭДС батареек направлены навстречу, суммарная ЭДС равна \(\mathcal{E}-\mathcal{E}_x\). Закон Ома для замкнутой цепи в исходной схеме: \[\mathcal{E}-\mathcal{E}_x=U_1+I_1r .\] После переворота \(\mathcal{E}_x\) ЭДС складываются: \(\mathcal{E}+\mathcal{E}_x=U_2+I_2r\) (ток вырос — это согласуется с тем, что до переворота ЭДС вычитались).

3. Сопротивление \(r\) и \(\mathcal{E}_x\). Сложим уравнения: \(\mathcal{E}_x\) исчезает. \[2\mathcal{E}=U_1+U_2+(I_1+I_2)\,r\ \Rightarrow\ r=\frac{2\mathcal{E}-U_1-U_2}{I_1+I_2}=\frac{18\text{ В}-12{,}0\text{ В}}{0{,}055\text{ А}}\approx1{,}1\cdot10^2\text{ Ом}.\] Из первого уравнения: \(\mathcal{E}-\mathcal{E}_x=3{,}1\text{ В}+0{,}020\text{ А}\cdot109\text{ Ом}=5{,}3\text{ В}\), то есть \(\mathcal{E}_x\approx3{,}7\) В.

4. Лампочка закорочена. Лампочки в контуре нет, напряжение на ней нуль, остаётся закон Ома для замкнутой цепи без лампочки с теми же \(\mathcal{E}-\mathcal{E}_x\) и \(r\): \[I_{\text{кз}}=\frac{\mathcal{E}-\mathcal{E}_x}{r}=I_1+\frac{U_1}{r}=20\text{ мА}+\frac{3{,}1\text{ В}}{109\text{ Ом}}\approx48\text{ мА}.\] На графике это ордината пересечения прямой \(U=(\mathcal{E}-\mathcal{E}_x)-Ir\) с осью токов (точка \(K\)): прямая идёт через точку \(A\) и наклонена так, как задаёт \(r\).

Обратите внимание: отношение \(U/I\) у лампочки в двух опытах разное (\(155\) Ом и \(254\) Ом), поэтому одно «сопротивление лампочки» ввести нельзя; от графика нужны ровно две точки, \(A\) и \(B\).

Проверка. Если бы \(r=0\), суммы \(U_1+U_2\) хватало бы на \(2\mathcal{E}=18\) В; по графику она \(12\) В, остальные \(6\) В падают на \(r\): \(0{,}055\text{ А}\cdot109\text{ Ом}\approx6\) В, как и должно быть. Знак: \(\mathcal{E}-\mathcal{E}_x=5{,}3\text{ В}>U_1=3{,}1\text{ В}\), ток при замыкании лампочки больше \(20\) мА, так что \(48>20\). Второй способ: второе уравнение даёт \(\mathcal{E}+\mathcal{E}_x=8{,}9+0{,}035\cdot109=12{,}7\) В, то есть \(\mathcal{E}_x=(12{,}7-5{,}3)/2=3{,}7\) В — то же значение.

Ответ: \(I_{\text{кз}}=I_1+\dfrac{U_1\,(I_1+I_2)}{2\mathcal{E}-U_1-U_2}\approx48\) мА.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.