Дуга с балластным резистором

Подсказка

Дуга и резистор включены последовательно: токи равны, напряжения складываются. Что будет с графиком цепи при больших токах, когда напряжение на дуге почти постоянно?

Ответ

1) \(R_{\text{б}}=1{,}5\) Ом, \(U_\infty\approx54\) В; характеристика дуги \(U_{\text{д}}(I)=U_{\text{цепи}}(I)-1{,}5\,I\) (см. рисунок и таблицу);  2) \(R_{\max}\approx4{,}4\) Ом.

Решение

Что происходит. Дуга и резистор соединены последовательно: ток один, напряжения складываются, \(U_{\text{цепи}}(I)=U_{\text{д}}(I)+IR_{\text{б}}\). У дуги при больших токах напряжение почти постоянно, \(U_{\text{д}}\to U_\infty\), значит, там график цепи — прямая линия, и её наклон равен сопротивлению резистора. Главная идея: наклон прямолинейного участка даёт \(R_{\text{б}}\), а вычитая \(IR_{\text{б}}\) из каждой точки графика, получаем характеристику самой дуги.

Обозначения. \(I\) — ток в цепи, \(U_{\text{цепи}}(I)\) — график на рисунке 9, \(U_{\text{д}}(I)\) — напряжение на дуге, \(R_{\text{б}}\) — сопротивление балластного резистора, \(U_\infty\) — напряжение дуги при больших токах.

Пункт 1.

1. Сопротивление резистора. На участке от 12 А до конца графика кривая — прямая, потому что \(U_{\text{д}}\) там постоянно, и приращение напряжения цепи приходится только на резистор. Возьмём точки \((15\text{ А};\,76{,}5\text{ В})\) и \((20\text{ А};\,84\text{ В})\): \[R_{\text{б}}=\frac{\Delta U}{\Delta I}=\frac{84-76{,}5}{20-15}\ \text{Ом}=1{,}5\text{ Ом}.\] Продолжив прямую до оси напряжений (\(I=0\)), получаем \(U_\infty=76{,}5-1{,}5\cdot15\approx54\) В.

2. Построение характеристики дуги. Для каждого тока вычитаем из напряжения цепи падение на резисторе: \(U_{\text{д}}(I)=U_{\text{цепи}}(I)-1{,}5\,I\). На графике это отрезок длины \(IR_{\text{б}}\) вниз от кривой цепи; его конец и есть точка характеристики дуги. Значения, снятые с графика:

Характеристика дуги монотонно убывает и выходит на \(54\) В: у цепи со своим минимумом при \(7{,}5\) А этого нет — минимум появляется только из-за слагаемого \(IR_{\text{б}}\).

Пункт 2.

3. Условие горения. Если источник даёт \(U=85\) В, а резистор имеет сопротивление \(R\), то в установившемся режиме \(U=U_{\text{д}}(I)+IR\), то есть точка \((I;\,U_{\text{д}})\) лежит на прямой \(U_{\text{д}}=U-RI\). Эта нагрузочная прямая выходит из точки \((0;\,85\text{ В})\) с наклоном \(-R\). Дуга может гореть, если прямая пересекает характеристику дуги.

4. Предельное сопротивление. Чем больше \(R\), тем круче прямая. При малых \(R\) она пересекает кривую в двух точках, при больших — проходит ниже кривой и не пересекает её. Предельный случай — прямая, касающаяся кривой. Проводим касательную из точки \((0;\,85\text{ В})\) к графику дуги: она касается его при \(I\approx4{,}4\) А, \(U_{\text{д}}\approx65{,}5\) В. Наклон касательной \[R_{\max}=\frac{85-65{,}5}{4{,}4}\ \text{Ом}\approx4{,}4\text{ Ом}.\]

Обратите внимание: при \(R<R_{\max}\) точек пересечения две, и устойчива та, где характеристика дуги положе нагрузочной прямой (большой ток). При \(R>R_{\max}\) пересечений нет, и дуга гаснет.

Проверка. Второй способ: проведём касательную из той же точки \((0;\,85\text{ В})\) к исходному графику рис. 9 (цепь с резистором \(1{,}5\) Ом). Она касается при том же токе \(4{,}4\) А, её наклон \((85-72{,}1)/4{,}4\approx2{,}9\) В/А; добавляем \(1{,}5\) Ом, получаем \(4{,}4\) Ом, то же самое. Точность ответа определяется чтением графика: около \(\pm0{,}2\) Ом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.