Диод, катушка и две батареи

Пока диод заперт, батарея \(\mathcal{E}_1\), катушка и конденсатор образуют колебательный контур. Как только напряжение на конденсаторе достигнет \(\mathcal{E}_0\), диод откроется и зафиксирует его. Ток катушки скачком измениться не может.

\(q=\dfrac{C\mathcal{E}_0\,(2\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_0)}{2(\mathcal{E}_0-\mathcal{E}_1)}\) при \(\mathcal{E}_1<\mathcal{E}_0<2\mathcal{E}_1\); если \(\mathcal{E}_0\ge2\mathcal{E}_1\), заряд через батарею \(\mathcal{E}_0\) не протекает.

Что происходит. До замыкания ключа диод заперт: напряжение на конденсаторе равно нулю, а катод диода соединён с плюсом батареи \(\mathcal{E}_0\), и на диоде обратное напряжение. После замыкания батарея \(\mathcal{E}_1\) раскачивает контур \(L\)–\(C\): напряжение на конденсаторе растёт и, если оно достигнет \(\mathcal{E}_0\), диод откроется. Тогда напряжение на конденсаторе удерживается равным \(\mathcal{E}_0\), а ток катушки течёт через диод и батарею \(\mathcal{E}_0\) — это и есть искомый заряд. Главная идея: три стадии (диод заперт, диод открыт, диод снова заперт), которые сшиваются по току катушки: он непрерывен.

Обозначения. \(u\) — напряжение на конденсаторе (потенциал обкладки, соединённой с катушкой, относительно левого узла), \(i\) — ток через катушку в сторону конденсатора, \(\omega=1/\sqrt{LC}\). Время \(t=0\) — замыкание ключа, \(t_1\) — момент, когда \(u\) достигает \(\mathcal{E}_0\), \(t_2\) — момент, когда ток катушки падает до нуля.

1. Диод заперт (\(0<t<t_1\)). Диод открывается, только когда потенциал его анода (он равен \(u\)) становится не меньше потенциала катода (он равен \(\mathcal{E}_0\)), то есть при \(u\ge\mathcal{E}_0\). Пока \(u<\mathcal{E}_0\), ток течёт лишь по контуру \(\mathcal{E}_1\)–\(K\)–\(L\)–\(C\). Второй закон Кирхгофа для этого контура (сопротивления нет) и связь заряда с током: \[\mathcal{E}_1=L\frac{di}{dt}+u,\qquad C\frac{du}{dt}=i .\] При \(u(0)=0\), \(i(0)=0\) получаем \(u=\mathcal{E}_1(1-\cos\omega t)\). Это колебание между \(0\) и \(2\mathcal{E}_1\) вокруг \(\mathcal{E}_1\). Если \(\mathcal{E}_0\ge2\mathcal{E}_1\), то \(u\) никогда не достигает \(\mathcal{E}_0\), диод остаётся запертым, и через батарею \(\mathcal{E}_0\) заряд не течёт: ответ \(0\). Дальше считаем, что \(\mathcal{E}_1<\mathcal{E}_0<2\mathcal{E}_1\).

2. Ток катушки в момент \(t_1\). От замыкания до \(t_1\) по контуру прошёл заряд, равный заряду конденсатора \(C\mathcal{E}_0\), и батарея \(\mathcal{E}_1\) совершила работу \(\mathcal{E}_1\cdot C\mathcal{E}_0\) (батарея \(\mathcal{E}_0\) тока не давала). По закону сохранения энергии (сопротивлений нет) эта работа превратилась в энергию конденсатора и катушки: \[\mathcal{E}_1C\mathcal{E}_0=\frac{C\mathcal{E}_0^2}{2}+\frac{Li_1^2}{2}\quad\Rightarrow\quad Li_1^2=C\mathcal{E}_0\,(2\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_0).\]

3. Диод открыт (\(t_1<t<t_2\)). Теперь \(u=\mathcal{E}_0\) постоянно, значит, \(C\,du/dt=0\): ток через конденсатор не идёт, весь ток катушки течёт через диод и батарею \(\mathcal{E}_0\). Второй закон Кирхгофа для контура \(\mathcal{E}_1\)–\(K\)–\(L\)–диод–\(\mathcal{E}_0\): \[L\frac{di}{dt}=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_0<0 .\] Ток убывает линейно от \(i_1\) до нуля за время \(\Delta t=\dfrac{Li_1}{\mathcal{E}_0-\mathcal{E}_1}\). Заряд, прошедший через батарею \(\mathcal{E}_0\), — площадь под этим участком графика тока (треугольник на рисунке): \[q=\frac{i_1}{2}\,\Delta t=\frac{Li_1^2}{2(\mathcal{E}_0-\mathcal{E}_1)}.\]

4. Что дальше. При \(i=0\) в момент \(t_2\) диод закрывается, и \(u=\mathcal{E}_0\). Контур снова свободный: \(u=\mathcal{E}_1+(\mathcal{E}_0-\mathcal{E}_1)\cos\omega(t-t_2)\), то есть \(u\) колеблется между \(2\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_0\) и \(\mathcal{E}_0\) и возвращается к \(\mathcal{E}_0\) с нулевым током. Значит, диод больше не открывается, и заряда через \(\mathcal{E}_0\) больше нет.

5. Соберём ответ. Подставим \(Li_1^2\) из пункта 2 в формулу пункта 3: \[q=\frac{C\mathcal{E}_0\,(2\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_0)}{2(\mathcal{E}_0-\mathcal{E}_1)} .\] Обратите внимание: напряжение на конденсаторе без диода доходит до \(2\mathcal{E}_1\), а не до \(\mathcal{E}_1\): заряжается он <<с перелётом>>, потому что на \(LC\)-контур действует постоянная ЭДС. Поэтому диод открывается при \(\mathcal{E}_0\), которое ощутимо больше \(\mathcal{E}_1\).

Проверка. Второй способ — энергия за весь процесс. К моменту \(t_2\) ток катушки равен нулю, конденсатор заряжен до \(\mathcal{E}_0\). Через батарею \(\mathcal{E}_1\) прошёл заряд \(C\mathcal{E}_0+q\) (заряд конденсатора плюс заряд, ушедший через диод), и она совершила работу \(\mathcal{E}_1(C\mathcal{E}_0+q)\); эта работа пошла в зарядку батареи \(\mathcal{E}_0\) (\(\mathcal{E}_0q\)) и конденсатора (\(C\mathcal{E}_0^2/2\)): \(\mathcal{E}_1(C\mathcal{E}_0+q)=\mathcal{E}_0q+C\mathcal{E}_0^2/2\), откуда \(q(\mathcal{E}_0-\mathcal{E}_1)=C\mathcal{E}_0(\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_0/2)\) — то же самое. Численный расчёт цепи с идеальным диодом (\(C=L=1\), \(\mathcal{E}_1=1\), \(\mathcal{E}_0=1{,}5\)) даёт \(q=0{,}75\), как по формуле. Пределы: при \(\mathcal{E}_0\to2\mathcal{E}_1\) получаем \(q\to0\), это стыкуется с нулевым ответом при \(\mathcal{E}_0\ge2\mathcal{E}_1\); при \(\mathcal{E}_0\to\mathcal{E}_1\) получаем \(q\to\infty\): напряжение на катушке стремится к нулю, ток \(i_1\) почти не убывает и течёт очень долго (при \(\mathcal{E}_0=\mathcal{E}_1\) — бесконечно, без сопротивлений).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.