Остывание чая в термосе

Газ в зазоре настолько разрежен, что молекулы пролетают от стенки к стенке без столкновений: тепло переносят сами молекулы, и поток тепла пропорционален их числу, то есть давлению.

\(t=\dfrac{4mcT_0}{3Sp\bar v}\ln\dfrac{T_1-T_0}{T_2-T_0}\approx2\cdot10^4\text{ с}\approx5\text{ ч}\).

Что происходит. Давление \(10^{-5}\) атм \(\approx1\) Па: длина свободного пробега молекул воздуха при таком давлении около 7 мм, то есть больше зазора между стенками колбы (несколько миллиметров). Молекулы не сталкиваются друг с другом, а летают от стенки к стенке, и обычной теплопроводности газа уже нет: тепло передают сами молекулы. Молекула, ударившись о тёплую стенку, уходит с энергией, соответствующей температуре стенки, и отдаёт избыток холодной стенке. Поэтому поток тепла пропорционален числу молекул, то есть давлению, и разности температур. Дальше — закон остывания Ньютона для чая.

Допущения и обозначения. Воздух двухатомный (5 степеней свободы); молекула после удара о стенку уходит с температурой стенки; излучением серебристых стенок пренебрегаем; зазор между стенками \(d\approx5\) мм; наружная стенка имеет комнатную температуру \(T_0=293\) К, внутренняя — температуру чая \(T\); масса чая \(m=1\) кг (1 л воды); молярная масса воздуха \(M=0{,}029\) кг/моль.

1. Тепловой поток через зазор. На единицу площади стенки за единицу времени попадает \(\tfrac14 n\bar v\) молекул (\(n\) — концентрация, \(\bar v\) — средняя скорость; это известный результат МКТ). В установившемся режиме столько же молекул со стенки и уходит, и каждая уносит среднюю энергию \(\varepsilon(T)\) своей стенки. Со стенки с температурой \(T\) молекула уходит с поступательной энергией \(2kT\) (быстрые молекулы долетают до стенки чаще, поэтому не \(\tfrac32kT\)) и с энергией вращения \(kT\): \(\varepsilon(T)=3kT\). Результирующий поток тепла от тёплой стенки к холодной: \[q=\tfrac14\,n\bar v\,\bigl(\varepsilon(T)-\varepsilon(T_0)\bigr)=\tfrac34\,nk\,\bar v\,(T-T_0)=\alpha\,(T-T_0).\] Так как \(nk=p/T_0\) (давление \(p\) дано при комнатной температуре), коэффициент равен \(\alpha=\dfrac{3p\bar v}{4T_0}\). Здесь \(\bar v=\sqrt{8RT_{\text{г}}/(\pi M)}\), \(T_{\text{г}}\approx323\) К — температура газа между стенками, примерно среднее между \(T\) и \(T_0\).

2. Остывание чая. Чай теряет энергию через площадь \(S\): за малый промежуток \(dt\) его температура меняется на \(dT\), и по закону сохранения энергии для чая \[mc\,dT=-S\,\alpha\,(T-T_0)\,dt .\] Решение: \(T-T_0=(T_1-T_0)\,e^{-t/\tau}\), где \(\tau=\dfrac{mc}{S\alpha}\). Время остывания от \(T_1=363\) К (\(90^\circ\)C) до \(T_2=343\) К (\(70^\circ\)C): \[t=\tau\ln\frac{T_1-T_0}{T_2-T_0}=\frac{4mcT_0}{3Sp\bar v}\ln\frac{70}{50}.\]

3. Числа. \(p=10^{-5}\cdot1{,}01\cdot10^5\text{ Па}\approx1{,}0\text{ Па}\); \(\bar v=\sqrt{8\cdot8{,}3\cdot323/(\pi\cdot0{,}029)}\approx485\text{ м/с}\); \(\alpha=\dfrac{3\cdot1{,}0\cdot485}{4\cdot293}\approx1{,}3\text{ Вт/(м}^2\text{·К)}\). Тогда \(\tau=\dfrac{1\cdot4200}{0{,}060\cdot1{,}26}\approx5{,}6\cdot10^4\text{ с}\approx15\text{ ч}\) и \[t\approx0{,}34\,\tau\approx1{,}9\cdot10^4\text{ с}\approx5\text{ ч}.\]

Обратите внимание: поток тепла здесь пропорционален давлению. Обычная теплопроводность воздуха (\(\varkappa\approx0{,}026\) Вт/(м\(\cdot\)К), от давления не зависит) при зазоре \(5\) мм дала бы \(\alpha\approx\varkappa/d\approx5\) Вт/(м\(^2\cdot\)К) и время около полутора часов; здесь \(\lambda>d\), молекулы не успевают передавать энергию друг другу, и перенос тепла слабее.

Проверка. Размерность: \(p\bar v/T_0\) — \(\text{Па}\cdot\text{м/с}/\text{К}=\text{Вт}/(\text{м}^2\cdot\text{К})\), как у коэффициента теплоотдачи. Второй способ — по средней мощности потерь: при остывании на \(20\) К чай отдаёт \(mc\cdot20\approx8{,}4\cdot10^4\) Дж; мощность потерь меняется от \(S\alpha\cdot70\approx5{,}3\) Вт до \(S\alpha\cdot50\approx3{,}8\) Вт, в среднем около \(4{,}5\) Вт, и \(t\approx8{,}4\cdot10^4/4{,}5\approx1{,}9\cdot10^4\) с, то же самое. Полученное \(\alpha=1{,}3\) меньше значения \(5\) Вт/(м\(^2\cdot\)К) для обычной теплопроводности, как и должно быть при \(\lambda>d\). Физический смысл: откачка замедляет остывание в несколько раз, в таком термосе чай остывает за часы. Это оценка: допущения о числе степеней свободы и температуре газа меняют результат на 20–30 %.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.